Решение задач на нахождение НОД, НОК и сложение дробей

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Сейчас помогу вам решить эти задания.

Задание 1: Найдите наибольший общий делитель (НОД) чисел

а) 20 и 44

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5\)
   • \(44 = 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11\)
2. Выберем общие простые множители в наименьшей степени:
   • Общий множитель: \(2^2\)
3. Перемножим общие множители:
   • \(НОД(20, 44) = 2^2 = 4\)

Ответ: НОД(20, 44) = 4

б) 792 и 936

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(792 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11\)
   • \(936 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 39 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13\)
2. Выберем общие простые множители в наименьшей степени:
   • Общие множители: \(2^3\) и \(3^2\)
3. Перемножим общие множители:
   • \(НОД(792, 936) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\)

Ответ: НОД(792, 936) = 72

в) 1404 и 1800

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(1404 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 13\)
   • \(1800 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2\)
2. Выберем общие простые множители в наименьшей степени:
   • Общие множители: \(2^2\) и \(3^2\)
3. Перемножим общие множители:
   • \(НОД(1404, 1800) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)

Ответ: НОД(1404, 1800) = 36

г) 2800 и 6200

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(2800 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7\)
   • \(6200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 31 = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 31\)
2. Выберем общие простые множители в наименьшей степени:
   • Общие множители: \(2^3\) и \(5^2\)
3. Перемножим общие множители:
   • \(НОД(2800, 6200) = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200\)

Ответ: НОД(2800, 6200) = 200

Задание 2: Найдите наименьшее общее кратное (НОК) чисел

а) 18 и 96

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2\)
   • \(96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3\)
2. Выберем все простые множители в наибольшей степени:
   • \(2^5\) и \(3^2\)
3. Перемножим выбранные множители:
   • \(НОК(18, 96) = 2^5 \cdot 3^2 = 32 \cdot 9 = 288\)

Ответ: НОК(18, 96) = 288

б) 528 и 792

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(528 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^4 \cdot 3 \cdot 11\)
   • \(792 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11\)
2. Выберем все простые множители в наибольшей степени:
   • \(2^4\), \(3^2\) и \(11\)
3. Перемножим выбранные множители:
   • \(НОК(528, 792) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 11 = 16 \cdot 9 \cdot 11 = 1584\)

Ответ: НОК(528, 792) = 1584

в) 1584 и 2112

1. Разложим каждое число на простые множители:
   • \(1584 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 11\)
   • \(2112 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^6 \cdot 3 \cdot 11\)
2. Выберем все простые множители в наибольшей степени:
   • \(2^6\), \(3^2\) и \(11\)
3. Перемножим выбранные множители:
   • \(НОК(1584, 2112) = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 11 = 64 \cdot 9 \cdot 11 = 6336\)

Ответ: НОК(1584, 2112) = 6336

Задание 3: Выполните действия: \(\frac{7}{10} + \frac{5}{6}\)

1. Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{7}{10}\) и \(\frac{5}{6}\).
   • Знаменатели: 10 и 6.
   • НОК(10, 6) = 30.
2. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • \(\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}\)
   • \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}\)
3. Сложим дроби:
   • \(\frac{21}{30} + \frac{25}{30} = \frac{21 + 25}{30} = \frac{46}{30}\)
4. Сократим дробь:
   • \(\frac{46}{30} = \frac{23}{15}\)
5. Выделим целую часть:
   • \(\frac{23}{15} = 1\frac{8}{15}\)

Ответ: \(\frac{7}{10} + \frac{5}{6} = 1\frac{8}{15}\)