На фото — 12 задач из задачника по физике за 9 класс: жёсткость тел (166–168) и закон всемирного тяготения (169–177). Ниже каждая задача разобрана отдельно: сначала условие, потом готовый ответ, а под ним — решение с формулами и вычислениями.
Задачи и решения
166 Жёсткость данного куска проволоки равна k. Чему равна жёсткость половины этого куска проволоки? Ответ обосновать.
Ответ Жёсткость половины куска проволоки равна 2k — короткий кусок проволоки жёстче длинного.
Дано: жёсткость целого куска проволоки — k.
Решение. Жёсткость однородного стержня или проволоки выражается формулой k = E·S / L, где E — модуль упругости материала (модуль Юнга), S — площадь поперечного сечения, L — длина. Материал и сечение при делении проволоки пополам не меняются, а длина уменьшается вдвое: L' = L/2. Тогда k' = E·S / (L/2) = 2·E·S / L = 2k.
167 (задача со звёздочкой) Жёсткость одной пружины равна k₁, а другой — k₂. Какова жёсткость пружины (k), составленной из этих пружин, соединённых последовательно?
Ответ k = k₁·k₂ / (k₁ + k₂) — общая жёсткость меньше жёсткости каждой из пружин по отдельности.
Дано: жёсткость первой пружины — k₁, второй — k₂, соединены последовательно.
Решение. При последовательном соединении на обе пружины действует одна и та же сила упругости: F₁ = F₂ = F. Общее удлинение системы равно сумме удлинений каждой пружины: Δx = Δx₁ + Δx₂. По закону Гука Δx = F/k, поэтому F/k = F/k₁ + F/k₂. Разделив обе части на F, получаем 1/k = 1/k₁ + 1/k₂, откуда k = k₁·k₂ / (k₁ + k₂).
168 Найти удлинение буксирного троса жёсткостью 100 кН/м при буксировке автомобиля массой 2 т с ускорением 0,5 м/с². Трением пренебречь.
Ответ Трос удлинится на 1 см.
Дано: k = 100 кН/м = 100 000 Н/м; m = 2 т = 2000 кг; a = 0,5 м/с². Трением пренебречь.
Решение. По второму закону Ньютона сила, разгоняющая автомобиль, — это сила упругости троса: F = m·a. По закону Гука та же сила равна F = k·Δx. Приравниваем: k·Δx = m·a, откуда Δx = m·a / k.
Δx = 2000 · 0,5 / 100 000 = 1000 / 100 000 = 0,01 м = 1 см.
169 Космический корабль массой 8 т приблизился к орбитальной космической станции массой 20 т на расстояние 100 м. Найти силу их взаимного притяжения.
Ответ Сила взаимного притяжения примерно 1,07·10⁻⁶ Н — на таких расстояниях и массах гравитация между кораблями крайне мала.
Дано: m₁ = 8 т = 8000 кг (корабль); m₂ = 20 т = 20 000 кг (станция); r = 100 м; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
Решение. По закону всемирного тяготения F = G·m₁·m₂ / r².
F = 6,67·10⁻¹¹ · 8000 · 20 000 / 100² = 6,67·10⁻¹¹ · 1,6·10⁸ / 10⁴ = 6,67·10⁻¹¹ · 1,6·10⁴ ≈ 1,07·10⁻⁶ Н.
170 Оценить порядок значения силы взаимного притяжения двух кораблей, удалённых друг от друга на 100 м, если масса каждого из них 10 000 т.
Ответ Сила притяжения около 0,67 Н, то есть по порядку величины это примерно 1 Н (10⁰ Н) — именно такую оценку и требует условие.
Дано: m = 10 000 т = 10⁷ кг (масса каждого корабля); r = 100 м.
Решение. Оба корабля одинаковой массы, поэтому F = G·m² / r².
F = 6,67·10⁻¹¹ · (10⁷)² / 100² = 6,67·10⁻¹¹ · 10¹⁴ / 10⁴ = 6,67·10⁻¹¹ · 10¹⁰ = 0,667 Н.
171 Найти силу гравитационного взаимодействия Земли и Луны (см. табл. 14).
Ответ Сила гравитационного взаимодействия Земли и Луны — примерно 2·10²⁰ Н (при справочных значениях из решения; со значениями из вашей табл. 14 число может немного отличаться).
Условие отсылает к «табл. 14» учебника с массами Земли, Луны и расстоянием между ними — этой таблицы нет на присланном фото, поэтому ниже использованы стандартные справочные значения, а не данные именно из вашего учебника. Если в табл. 14 числа отличаются, пересчитайте по той же формуле со своими значениями.
Принятые значения: масса Земли M_З ≈ 6·10²⁴ кг; масса Луны M_Л ≈ 7,3·10²² кг; расстояние между центрами r ≈ 3,84·10⁸ м; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
Решение. F = G·M_З·M_Л / r².
F = 6,67·10⁻¹¹ · 6·10²⁴ · 7,3·10²² / (3,84·10⁸)² ≈ 1,98·10²⁰ Н.
172 Во сколько раз уменьшится сила притяжения к Земле космического корабля при его удалении от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли? Пяти радиусам Земли?
Ответ При удалении на один радиус Земли сила падает в 4 раза, при удалении на пять радиусов — в 36 раз.
Дано: сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли: F = G·M·m / r², где на поверхности r₀ = R (R — радиус Земли).
Решение. При удалении на высоту h расстояние до центра становится r = R + h.
При h = R: r = 2R, значит F/F₀ = (R / 2R)² = 1/4 — сила уменьшается в 4 раза.
При h = 5R: r = 6R, значит F/F₀ = (R / 6R)² = 1/36 — сила уменьшается в 36 раз.
173 На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней станет в 100 раз меньше, чем на поверхности Земли?
Ответ На высоте, равной девяти радиусам Земли (около 57 600 км над поверхностью).
Дано: сила на высоте h должна стать в 100 раз меньше, чем на поверхности.
Решение. F₀/F = (r/R)² = 100, где r = R + h — расстояние до центра Земли на высоте h. Отсюда r/R = 10, то есть r = 10R, а h = r − R = 9R.
Если принять радиус Земли R ≈ 6400 км, то h ≈ 9 · 6400 = 57 600 км.
174 Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке отрезка, соединяющего центры Земли и Луны, тело будет притягиваться ими с одинаковой силой?
Ответ Искомая точка находится на расстоянии 54 радиусов Земли от её центра, то есть в 6 земных радиусах от центра Луны.
Дано: расстояние между центрами Земли и Луны D = 60R (R — радиус Земли); масса Луны M_Л = M_З / 81.
Решение. Пусть x — расстояние от центра Земли до искомой точки, тогда D − x — расстояние от этой точки до центра Луны. В точке равного притяжения:
G·M_З / x² = G·M_Л / (D − x)² = G·(M_З/81) / (D − x)².
Сокращаем G·M_З: 1/x² = (1/81) / (D − x)², то есть 81·(D − x)² = x². Извлекаем корень (берём положительное решение): 9·(D − x) = x, откуда 9D = 10x, x = 0,9·D = 0,9 · 60R = 54R.
Проверка: D − x = 60R − 54R = 6R, и 81 · (6R)² = 2916R² = (54R)² — совпадает.
175 Два тела одинаковой массы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, притягиваются с силой F₁. Какой станет сила притяжения F₂, если, не изменяя расстояния между телами, половину массы первого тела перенести на второе?
Ответ F₂ = 0,75·F₁ — сила притяжения уменьшится, хотя суммарная масса тел не изменилась.
Дано: два тела одинаковой массы m на расстоянии r притягиваются с силой F₁. Половину массы первого тела переносят на второе, расстояние не меняется.
Решение. Исходно F₁ = G·m·m / r² = G·m² / r².
После переноса масса первого тела становится m/2, масса второго — m + m/2 = 1,5m. Новая сила:
F₂ = G·(m/2)·(1,5m) / r² = G·0,75·m² / r² = 0,75·F₁.
176 Каково ускорение свободного падения на высоте, равной половине радиуса Земли?
Ответ Ускорение свободного падения на этой высоте примерно 4,4 м/с² — почти в 2,25 раза меньше, чем на поверхности.
Дано: высота h = R/2 (R — радиус Земли); ускорение свободного падения на поверхности g₀ ≈ 9,8 м/с².
Решение. g = G·M / r², где r — расстояние до центра Земли. На высоте h = R/2 это расстояние r = R + R/2 = 1,5R.
g / g₀ = (R / 1,5R)² = (1/1,5)² = 4/9.
g = g₀ · 4/9 ≈ 9,8 · 0,444 ≈ 4,36 м/с².
177 Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения на планете 3,72 м/с². Найти массу Меркурия.
Ответ Масса Меркурия примерно 3,27·10²³ кг.
Дано: радиус Меркурия R = 2420 км = 2,42·10⁶ м; ускорение свободного падения на его поверхности g = 3,72 м/с²; G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².
Решение. Из формулы ускорения свободного падения g = G·M / R² выражаем массу планеты: M = g·R² / G.
M = 3,72 · (2,42·10⁶)² / 6,67·10⁻¹¹ ≈ 3,27·10²³ кг.
Частые ошибки в этих задачах
-
В задачах на притяжение к Земле или другой планете подставлять в закон тяготения высоту над поверхностью вместо расстояния до центра.
В формуле F = G·M·m / r² всегда стоит r — расстояние до центра тела, а не до его поверхности. Если дана высота h, сначала находят r = R + h, где R — радиус планеты.
-
Путать формулы для последовательного и параллельного соединения пружин.
При последовательном соединении складываются обратные жёсткости: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ (жёсткость системы меньше жёсткости каждой пружины). При параллельном — складываются сами жёсткости: k = k₁ + k₂ (система жёстче любой из пружин).
-
Забывать перевести единицы перед подстановкой в формулу — тонны в килограммы, километры в метры, кН/м в Н/м.
Все величины в законе тяготения и законе Гука нужно подставлять в СИ: массу — в килограммах, расстояние — в метрах, жёсткость — в ньютонах на метр. Ошибка в переводе единиц сразу даёт ответ, отличающийся на несколько порядков.
-
В задаче 174 искать точку равного притяжения на равном расстоянии от Земли и Луны, не учитывая разницу масс.
Точка равного притяжения ближе к менее массивному телу (в этой задаче — к Луне), потому что при меньшей массе меньшее расстояние компенсирует разницу. Уравнение 81·(D−x)² = x² решает именно это, а не просто делит отрезок пополам.
Вопросы и ответы
Почему в задаче 167 пружины стоит помечать звёздочкой (167*)?
Звёздочка у номера в сборнике обычно означает задачу повышенной сложности — она чуть труднее соседних, но решается тем же способом: через закон Гука и условие равенства сил при последовательном соединении.
Откуда взять точные массу Земли, массу Луны и расстояние между ними для задачи 171, если таблицы 14 нет под рукой?
В решении выше использованы стандартные округлённые справочные значения: масса Земли около 6·10²⁴ кг, масса Луны около 7,3·10²² кг, расстояние между центрами около 3,84·10⁸ м. Если в вашей табл. 14 указаны другие числа, подставьте их в ту же формулу F = G·M_З·M_Л / r² — способ решения не изменится.
Почему в задаче 170 нужно оценивать именно порядок величины, а не точное число?
Формулировка «оценить порядок значения» просит показать, насколько сила велика или мала по степени десятки, без требования высокой точности исходных данных. Ответ 0,67 Н округляют до ближайшей степени десяти — получается порядок 10⁰ Н, то есть около 1 Н.
Как проверить решение задачи 174 без калькулятора?
Подставьте найденный ответ x = 54R обратно в исходное равенство сил: 81·(60R − 54R)² должно совпасть с (54R)². Слева 81·(6R)² = 2916R², справа (54R)² тоже 2916R² — если числа совпали, точка найдена верно.
