Привет! Сейчас решим все задания по порядку.

Задание 1

Найти производную функции: $y = \frac{x^4}{4} - 3x^2 + 6x - 2$

Решение:
1. Применяем правило производной для каждого члена:
* $(\frac{x^4}{4})' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3$
* $(-3x^2)' = -3 \cdot 2x = -6x$
* $(6x)' = 6$
* $(-2)' = 0$

2. Складываем производные:
   $y' = x^3 - 6x + 6$

Ответ:
$y' = x^3 - 6x + 6$

Задание 2

Найти производную функции: $y = \frac{2x^5}{3} - \frac{3}{x} + x$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = \frac{2}{3}x^5 - 3x^{-1} + x$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(\frac{2}{3}x^5)' = \frac{2}{3} \cdot 5x^4 = \frac{10}{3}x^4$
   • $(-3x^{-1})' = -3 \cdot (-1)x^{-2} = 3x^{-2} = \frac{3}{x^2}$
   • $(x)' = 1$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{10}{3}x^4 + \frac{3}{x^2} + 1$

Ответ:
$y' = \frac{10}{3}x^4 + \frac{3}{x^2} + 1$

Задание 3

Найти производную функции: $y = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{3x^3}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = x^{-1} + 2x^{-2} - \frac{1}{3}x^{-3}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
   • $(2x^{-2})' = 2 \cdot (-2)x^{-3} = -4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}$
   • $(-\frac{1}{3}x^{-3})' = -\frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-4} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$

3. Складываем производные:
   $y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3} + \frac{1}{x^4}$

Ответ:
$y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3} + \frac{1}{x^4}$

Задание 4

Найти производную функции: $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$
   • $(2x^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

3. Складываем производные:
   $y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

4. Приведем к общему знаменателю:
   $y' = \frac{-1 + 2x}{2x\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = \frac{2x - 1}{2x\sqrt{x}}$

Задание 5

Найти производную функции: $y = \frac{1}{x} + 2\sqrt{x} - 23$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}} - 23$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
   • $(2x^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
   • $(-23)' = 0$

3. Складываем производные:
   $y' = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Задание 5

Найти производную функции: $y = \frac{1}{x} + 2\sqrt{x} - 23$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}} - 23$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
   • $(2x^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
   • $(-23)' = 0$

3. Складываем производные:
   $y' = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Задание 6

Найти производную функции: $y = (x + \sqrt{x})^2$

Решение:
1. Раскроем скобки: $y = x^2 + 2x\sqrt{x} + x = x^2 + 2x^{\frac{3}{2}} + x$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^2)' = 2x$
   • $(2x^{\frac{3}{2}})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$
   • $(x)' = 1$

3. Складываем производные:
   $y' = 2x + 3\sqrt{x} + 1$

Ответ:
$y' = 2x + 3\sqrt{x} + 1$

Ассистент: Отлично, продолжаем решать!

Задание 7

Найти производную функции: $y = (\sqrt{a} + \sqrt{x})^2$

Решение:
1. Раскроем скобки: $y = a + 2\sqrt{a}\sqrt{x} + x = a + 2\sqrt{a}x^{\frac{1}{2}} + x$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(a)' = 0$
   • $(2\sqrt{a}x^{\frac{1}{2}})' = 2\sqrt{a} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{a}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$
   • $(x)' = 1$

3. Складываем производные:
   $y' = 0 + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + 1$

Ответ:
$y' = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}} + 1$

Задание 8

Найти производную функции: $y = (1 - \frac{1}{3\sqrt{x}})^2$

Решение:
1. Раскроем скобки: $y = 1 - \frac{2}{3\sqrt{x}} + \frac{1}{9x} = 1 - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{9}x^{-1}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(1)' = 0$
   • $(-\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3x\sqrt{x}}$
   • $(\frac{1}{9}x^{-1})' = \frac{1}{9} \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{1}{9x^2}$

3. Складываем производные:
   $y' = 0 + \frac{1}{3x\sqrt{x}} - \frac{1}{9x^2}$

Ответ:
$y' = \frac{1}{3x\sqrt{x}} - \frac{1}{9x^2}$

Задание 8

Найти производную функции: $y = (1 - \frac{1}{3\sqrt{x}})^2$

Решение:
1. Раскроем скобки: $y = 1 - \frac{2}{3\sqrt{x}} + \frac{1}{9x} = 1 - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{9}x^{-1}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(1)' = 0$
   • $(-\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3x\sqrt{x}}$
   • $(\frac{1}{9}x^{-1})' = \frac{1}{9} \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{1}{9x^2}$

3. Складываем производные:
   $y' = 0 + \frac{1}{3x\sqrt{x}} - \frac{1}{9x^2}$

Ответ:
$y' = \frac{1}{3x\sqrt{x}} - \frac{1}{9x^2}$

Задание 9

Найти производную функции: $y = \frac{3}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{5}{\sqrt[4]{x^3}}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = 3x^{-\frac{2}{3}} - 5x^{-\frac{3}{4}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(3x^{-\frac{2}{3}})' = 3 \cdot (-\frac{2}{3})x^{-\frac{5}{3}} = -2x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}}$
   • $(-5x^{-\frac{3}{4}})' = -5 \cdot (-\frac{3}{4})x^{-\frac{7}{4}} = \frac{15}{4}x^{-\frac{7}{4}} = \frac{15}{4\sqrt[4]{x^7}}$

3. Складываем производные:
   $y' = -\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}} + \frac{15}{4\sqrt[4]{x^7}}$

Ответ:
$y' = -\frac{2}{\sqrt[3]{x^5}} + \frac{15}{4\sqrt[4]{x^7}}$

Ассистент: Продолжаем решать!

Задание 10

Найти производную функции: $y = 2\operatorname{tg}x - 3\cos x$

Решение:
1. Применяем правило производной для каждого члена:
* $(2\operatorname{tg}x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x}$
* $(-3\cos x)' = -3 \cdot (-\sin x) = 3\sin x$

2. Складываем производные:
   $y' = \frac{2}{\cos^2 x} + 3\sin x$

Ответ:
$y' = \frac{2}{\cos^2 x} + 3\sin x$

Задание 11

Найти производную функции: $y = 7\sin x + 5e^x$

Решение:
1. Применяем правило производной для каждого члена:
* $(7\sin x)' = 7\cos x$
* $(5e^x)' = 5e^x$

2. Складываем производные:
   $y' = 7\cos x + 5e^x$

Ответ:
$y' = 7\cos x + 5e^x$

Задание 12

Найти производную функции: $y = \sqrt{x} + \operatorname{ctg}x$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = x^{\frac{1}{2}} + \operatorname{ctg}x$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
   • $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sin^2 x}$

Ассистент: Продолжаем решать!

Задание 13

Найти производную функции: $y = \ln x + 2\sqrt[3]{x}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = \ln x + 2x^{\frac{1}{3}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
   • $(2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{1}{x} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ:
$y' = \frac{1}{x} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Задание 14

Найти производную функции: $y = e^x - \frac{\sqrt{x}}{3}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = e^x - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(e^x)' = e^x$
   • $(-\frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6\sqrt{x}}$

3. Складываем производные:
   $y' = e^x - \frac{1}{6\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = e^x - \frac{1}{6\sqrt{x}}$

Задание 14

Найти производную функции: $y = e^x - \frac{\sqrt{x}}{3}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = e^x - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(e^x)' = e^x$
   • $(-\frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6\sqrt{x}}$

3. Складываем производные:
   $y' = e^x - \frac{1}{6\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = e^x - \frac{1}{6\sqrt{x}}$

Задание 15

Найти производную функции: $y = 1 - \frac{\cos x}{4}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = 1 - \frac{1}{4}\cos x$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(1)' = 0$
   • $(-\frac{1}{4}\cos x)' = -\frac{1}{4} \cdot (-\sin x) = \frac{1}{4}\sin x$

3. Складываем производные:
   $y' = 0 + \frac{1}{4}\sin x$

Ответ:
$y' = \frac{1}{4}\sin x$

Ассистент: Продолжаем!

Задание 16

Найти производную функции: $y = 5x^3\sqrt{x} - \frac{2x^2}{\sqrt{x}} + \frac{3\sqrt{x}}{x}$

Решение:
1. Преобразуем функцию:
$y = 5x^3x^{\frac{1}{2}} - 2x^2x^{-\frac{1}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}}x^{-1} = 5x^{\frac{7}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + 3x^{-\frac{1}{2}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(5x^{\frac{7}{2}})' = 5 \cdot \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} = \frac{35}{2}x^{\frac{5}{2}}$
   • $(-2x^{\frac{3}{2}})' = -2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = -3x^{\frac{1}{2}}$
   • $(3x^{-\frac{1}{2}})' = 3 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{35}{2}x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

4. Приведем к общему виду:
   $y' = \frac{35}{2}x^2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - \frac{3}{2x\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = \frac{35}{2}x^2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} - \frac{3}{2x\sqrt{x}}$

Задание 17

Найти производную функции: $y = \sqrt[3]{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

Решение:
1. Преобразуем функцию:
$y = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
   • $(-2x^{-\frac{1}{2}})' = -2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = x^{-\frac{3}{2}}$
   • $(x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + x^{-\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

4. Приведем к общему виду:
   $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

Задание 17

Найти производную функции: $y = \sqrt[3]{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$

Решение:
1. Преобразуем функцию:
$y = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-1}x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{-\frac{1}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
   • $(-2x^{-\frac{1}{2}})' = -2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = x^{-\frac{3}{2}}$
   • $(x^{-\frac{3}{2}})' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + x^{-\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

4. Приведем к общему виду:
   $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

Ответ:
$y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

Задание 18

Найти производную функции: $y = \frac{x^2}{\sqrt[5]{x}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{x^2}$

Решение:
1. Преобразуем функцию:
$y = x^2x^{-\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{3}}x^{-2} = x^{\frac{9}{5}} - x^{-\frac{5}{3}}$

2. Применяем правило производной для каждого члена:

   • $(x^{\frac{9}{5}})' = \frac{9}{5}x^{\frac{4}{5}}$
   • $(-x^{-\frac{5}{3}})' = -(-\frac{5}{3})x^{-\frac{8}{3}} = \frac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}$

3. Складываем производные:
   $y' = \frac{9}{5}x^{\frac{4}{5}} + \frac{5}{3}x^{-\frac{8}{3}}$

4. Приведем к общему виду:
   $y' = \frac{9}{5}\sqrt[5]{x^4} + \frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}}$

Ответ:
$y' = \frac{9}{5}\sqrt[5]{x^4} + \frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}}$

Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 19

Найти производную функции: $y = 2x^3\sin x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = 2x^3$, $u' = 6x^2$
* $v = \sin x$, $v' = \cos x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (2x^3)'\sin x + 2x^3(\sin x)' = 6x^2\sin x + 2x^3\cos x$

Ответ:
$y' = 6x^2\sin x + 2x^3\cos x$

Задание 20

Найти производную функции: $y = x^2\cos x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = x^2$, $u' = 2x$
* $v = \cos x$, $v' = -\sin x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (x^2)'\cos x + x^2(\cos x)' = 2x\cos x - x^2\sin x$

Ответ:
$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$

Задание 21

Найти производную функции: $y = 5x^4e^x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = 5x^4$, $u' = 20x^3$
* $v = e^x$, $v' = e^x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (5x^4)'e^x + 5x^4(e^x)' = 20x^3e^x + 5x^4e^x$

Ответ:
$y' = 20x^3e^x + 5x^4e^x$

Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 22

Найти производную функции: $y = x\ln x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = x$, $u' = 1$
* $v = \ln x$, $v' = \frac{1}{x}$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

Ответ:
$y' = \ln x + 1$

Задание 23

Найти производную функции: $y = x^3\operatorname{tg}x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = x^3$, $u' = 3x^2$
* $v = \operatorname{tg}x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (x^3)'\operatorname{tg}x + x^3(\operatorname{tg}x)' = 3x^2\operatorname{tg}x + x^3\frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ:
$y' = 3x^2\operatorname{tg}x + \frac{x^3}{\cos^2 x}$

Задание 24

Найти производную функции: $y = e^x\sin x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = e^x$, $u' = e^x$
* $v = \sin x$, $v' = \cos x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (e^x)'\sin x + e^x(\sin x)' = e^x\sin x + e^x\cos x$

Ответ:
$y' = e^x\sin x + e^x\cos x$

Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 25

Найти производную функции: $y = \frac{x}{x+1}$

Решение:
1. Применяем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
* $u = x$, $u' = 1$
* $v = x+1$, $v' = 1$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$

Ответ:
$y' = \frac{1}{(x+1)^2}$

Задание 26

Найти производную функции: $y = \frac{x^2}{x-1}$

Решение:
1. Применяем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
* $u = x^2$, $u' = 2x$
* $v = x-1$, $v' = 1$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = \frac{(x^2)'(x-1) - x^2(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Ответ:
$y' = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Задание 27

Найти производную функции: $y = \frac{x+2}{x-3}$

Решение:
1. Применяем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
* $u = x+2$, $u' = 1$
* $v = x-3$, $v' = 1$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = \frac{(x+2)'(x-3) - (x+2)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{1(x-3) - (x+2)(1)}{(x-3)^2} = \frac{x-3 - x - 2}{(x-3)^2} = \frac{-5}{(x-3)^2}$

Ответ:
$y' = \frac{-5}{(x-3)^2}$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 28

Найти производную функции: $y = \frac{3x-2}{5x+4}$

Решение:
1. Применяем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
* $u = 3x-2$, $u' = 3$
* $v = 5x+4$, $v' = 5$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = \frac{(3x-2)'(5x+4) - (3x-2)(5x+4)'}{(5x+4)^2} = \frac{3(5x+4) - (3x-2)(5)}{(5x+4)^2} = \frac{15x+12 - 15x+10}{(5x+4)^2} = \frac{22}{(5x+4)^2}$

Ответ:
$y' = \frac{22}{(5x+4)^2}$

Задание 29

Найти производную функции: $y = \frac{2\sin x}{3\cos x}$

Решение:
1. Преобразуем функцию: $y = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2}{3} \operatorname{tg} x$

2. Применяем правило производной:
   $y' = \frac{2}{3} (\operatorname{tg} x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ:
$y' = \frac{2}{3\cos^2 x}$

Задание 30

Найти производную функции: $y = \frac{\sin x}{x}$

Решение:
1. Применяем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
* $u = \sin x$, $u' = \cos x$
* $v = x$, $v' = 1$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = \frac{(\sin x)'(x) - (\sin x)(x)'}{x^2} = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

Ответ:
$y' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 1

Найти производную функции: $y = \sin x \cdot \cos x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = \sin x$, $u' = \cos x$
* $v = \cos x$, $v' = -\sin x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (\sin x)'\cos x + \sin x(\cos x)' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

3. Используем тригонометрическое тождество: $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

Ответ:
$y' = \cos 2x$

Задание 2

Найти производную функции: $y = (x^2 + x)\ln x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = x^2 + x$, $u' = 2x + 1$
* $v = \ln x$, $v' = \frac{1}{x}$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (x^2 + x)'\ln x + (x^2 + x)(\ln x)' = (2x + 1)\ln x + (x^2 + x)\frac{1}{x} = (2x + 1)\ln x + x + 1$

Ответ:
$y' = (2x + 1)\ln x + x + 1$

Задание 3

Найти производную функции: $y = \operatorname{tg} x \cdot e^x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = \operatorname{tg} x$, $u' = \frac{1}{\cos^2 x}$
* $v = e^x$, $v' = e^x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (\operatorname{tg} x)'e^x + \operatorname{tg} x(e^x)' = \frac{1}{\cos^2 x}e^x + \operatorname{tg} x \cdot e^x = e^x(\frac{1}{\cos^2 x} + \operatorname{tg} x)$

Ответ:
$y' = e^x(\frac{1}{\cos^2 x} + \operatorname{tg} x)$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 4

Найти производную функции: $y = \operatorname{ctg} x \cdot \cos x$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = \operatorname{ctg} x$, $u' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
* $v = \cos x$, $v' = -\sin x$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (\operatorname{ctg} x)'\cos x + \operatorname{ctg} x(\cos x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\cos x + \operatorname{ctg} x \cdot (-\sin x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} - \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} - \cos x$

3. Приводим к общему знаменателю:
   $y' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} - \frac{\cos x \sin^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x + \cos x \sin^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x(1 + \sin^2 x)}{\sin^2 x}$

Ответ:
$y' = -\frac{\cos x(1 + \sin^2 x)}{\sin^2 x}$

Задание 5

Найти производную функции: $y = \sin x \cdot (\frac{x}{2} + \sqrt{x})$

Решение:
1. Применяем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$
* $u = \sin x$, $u' = \cos x$
* $v = \frac{x}{2} + \sqrt{x}$, $v' = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = (\sin x)'(\frac{x}{2} + \sqrt{x}) + \sin x(\frac{x}{2} + \sqrt{x})' = \cos x(\frac{x}{2} + \sqrt{x}) + \sin x(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}})$

Ответ:
$y' = \cos x(\frac{x}{2} + \sqrt{x}) + \sin x(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}})$

Задание 6

Найти производную функции: $y = (\sin x - \cos x)^2$

Решение:
1. Раскрываем скобки: $y = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

2. Используем тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
   $y = 1 - 2\sin x \cos x$

3. Используем формулу двойного угла: $2\sin x \cos x = \sin 2x$
   $y = 1 - \sin 2x$

4. Находим производную:
   $y' = (1 - \sin 2x)' = 0 - \cos 2x \cdot 2 = -2\cos 2x$

Ответ:
$y' = -2\cos 2x$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Продолжаем!

Задание 7

Найти производную функции: $y = \frac{x-1}{x+1}$

Решение:
1. Применяем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
* $u = x-1$, $u' = 1$
* $v = x+1$, $v' = 1$

2. Подставляем в формулу:
   $y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Ответ:
$y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

Все задания решены! Если у вас есть еще вопросы, задайте их.