Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения 1-го порядка

Язык задания: Russian.

Задание 5

Необходимо найти решение задачи Коши для заданного дифференциального уравнения.

Дано дифференциальное уравнение:
\(y' + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{2x^2}{1+x^2}\)

и начальное условие:
\(y(0) = \frac{2}{3}\)

Решение:

1. Определим тип уравнения: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(y' + p(x)y = q(x)\), где \(p(x) = \frac{2x}{1+x^2}\) и \(q(x) = \frac{2x^2}{1+x^2}\).

2. Найдем интегрирующий фактор: Интегрирующий фактор \(\mu(x)\) определяется как \(e^{\int p(x) dx}\).
   В нашем случае:
   \(\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx}\)
   Заметим, что \(\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)\).
   Следовательно, \(\mu(x) = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2\).

3. Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор:
   \((1+x^2)y' + 2xy = 2x^2\)

4. Заметим, что левая часть является производной произведения:
   \(\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = 2x^2\)

5. Проинтегрируем обе части по \(x\):
   \(\int \frac{d}{dx}[(1+x^2)y] dx = \int 2x^2 dx\)
   \((1+x^2)y = \frac{2}{3}x^3 + C\)

6. Выразим \(y\):
   \(y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + C}{1+x^2}\)

7. Используем начальное условие \(y(0) = \frac{2}{3}\) для нахождения \(C\):
   \(\frac{2}{3} = \frac{\frac{2}{3}(0)^3 + C}{1+(0)^2}\)
   \(\frac{2}{3} = \frac{C}{1}\)
   \(C = \frac{2}{3}\)

8. Подставим значение \(C\) в общее решение:
   \(y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{3}}{1+x^2}\)
   \(y = \frac{2x^3 + 2}{3(1+x^2)}\)
   \(y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}\)
   \(y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}\)

Ответ:
\(y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}\) или \(y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}\)

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, приведи определения и формулы

Ассистент: Язык задания: Russian.

Конечно, вот подробное решение задачи 5:

Задание 5: Подробное решение задачи Коши

Дано:

Дифференциальное уравнение:
\(y' + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{2x^2}{1+x^2}\)

Начальное условие:
\(y(0) = \frac{2}{3}\)

Решение:

1. Определение типа уравнения:

   • Уравнение имеет вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:
     \(y' + p(x)y = q(x)\)
   • Здесь:
     • \(p(x) = \frac{2x}{1+x^2}\)
     • \(q(x) = \frac{2x^2}{1+x^2}\)

2. Нахождение интегрирующего фактора:

   • Интегрирующий фактор \(\mu(x)\) находится по формуле:
     \(\mu(x) = e^{\int p(x) dx}\)
   • В нашем случае:
     \(\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx}\)
   • Интеграл \(\int \frac{2x}{1+x^2} dx\) можно решить, заметив, что производная \(1+x^2\) равна \(2x\). Таким образом:
     \(\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)\)
   • Следовательно:
     \(\mu(x) = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2\)

3. Умножение уравнения на интегрирующий фактор:

   • Умножаем обе части исходного уравнения на \(\mu(x) = 1+x^2\):
     \((1+x^2)y' + (1+x^2)\frac{2x}{1+x^2}y = (1+x^2)\frac{2x^2}{1+x^2}\)
     \((1+x^2)y' + 2xy = 2x^2\)

4. Приведение левой части к производной произведения:

   • Замечаем, что левая часть уравнения является производной произведения \((1+x^2)y\):
     \(\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = (1+x^2)y' + 2xy\)
   • Таким образом, уравнение можно переписать как:
     \(\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = 2x^2\)

5. Интегрирование обеих частей:

   • Интегрируем обе части уравнения по \(x\):
     \(\int \frac{d}{dx}[(1+x^2)y] dx = \int 2x^2 dx\)
     \((1+x^2)y = \frac{2}{3}x^3 + C\)
     • Здесь \(C\) - константа интегрирования.

6. Выражение \(y\) через \(x\) и \(C\):

   • Делим обе части уравнения на \((1+x^2)\), чтобы выразить \(y\):
     \(y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + C}{1+x^2}\)

7. Использование начального условия для нахождения \(C\):

   • Подставляем начальное условие \(y(0) = \frac{2}{3}\) в полученное общее решение:
     \(\frac{2}{3} = \frac{\frac{2}{3}(0)^3 + C}{1+(0)^2}\)
     \(\frac{2}{3} = \frac{C}{1}\)
     \(C = \frac{2}{3}\)

8. Подстановка значения \(C\) в общее решение:

   • Подставляем найденное значение \(C = \frac{2}{3}\) в общее решение:
     \(y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{3}}{1+x^2}\)
   • Упрощаем выражение:
     \(y = \frac{2x^3 + 2}{3(1+x^2)}\)
     \(y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}\)

9. Факторизация и упрощение (необязательно, но полезно):

   • Заметим, что \(x^3 + 1\) можно разложить на множители как \((x+1)(x^2-x+1)\):
     \(y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}\)

Ответ:

\(y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}\) или \(y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}\)

Оба варианта ответа эквивалентны.

[Другой способ решения]|Покажи другой способ решения этой задачи, например, с использованием замены переменной или метода Бернулли.
[Проверить ответ]|Как убедиться, что найденное решение действительно является решением исходного дифференциального уравнения и удовлетворяет начальному условию?