Язык задания: Russian.

Задание 5

Необходимо найти решение задачи Коши для заданного дифференциального уравнения.

Дано дифференциальное уравнение:
$y' + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{2x^2}{1+x^2}$

и начальное условие:
$y(0) = \frac{2}{3}$

Решение:

1. Определим тип уравнения: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' + p(x)y = q(x)$, где $p(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ и $q(x) = \frac{2x^2}{1+x^2}$.

2. Найдем интегрирующий фактор: Интегрирующий фактор $\mu(x)$ определяется как $e^{\int p(x) dx}$.
   В нашем случае:
   $\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx}$
   Заметим, что $\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)$.
   Следовательно, $\mu(x) = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$.

3. Умножим обе части уравнения на интегрирующий фактор:
   $(1+x^2)y' + 2xy = 2x^2$

4. Заметим, что левая часть является производной произведения:
   $\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = 2x^2$

5. Проинтегрируем обе части по $x$:
   $\int \frac{d}{dx}[(1+x^2)y] dx = \int 2x^2 dx$
   $(1+x^2)y = \frac{2}{3}x^3 + C$

6. Выразим $y$:
   $y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + C}{1+x^2}$

7. Используем начальное условие $y(0) = \frac{2}{3}$ для нахождения $C$:
   $\frac{2}{3} = \frac{\frac{2}{3}(0)^3 + C}{1+(0)^2}$
   $\frac{2}{3} = \frac{C}{1}$
   $C = \frac{2}{3}$

8. Подставим значение $C$ в общее решение:
   $y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{3}}{1+x^2}$
   $y = \frac{2x^3 + 2}{3(1+x^2)}$
   $y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}$
   $y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}$

Ответ:
$y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}$ или $y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, приведи определения и формулы

Ассистент: Язык задания: Russian.

Конечно, вот подробное решение задачи 5:

Задание 5: Подробное решение задачи Коши

Дано:

Дифференциальное уравнение:
$y' + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{2x^2}{1+x^2}$

Начальное условие:
$y(0) = \frac{2}{3}$

Решение:

1. Определение типа уравнения:

   • Уравнение имеет вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:
     $y' + p(x)y = q(x)$
   • Здесь:
     • $p(x) = \frac{2x}{1+x^2}$
     • $q(x) = \frac{2x^2}{1+x^2}$

2. Нахождение интегрирующего фактора:

   • Интегрирующий фактор $\mu(x)$ находится по формуле:
     $\mu(x) = e^{\int p(x) dx}$
   • В нашем случае:
     $\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx}$
   • Интеграл $\int \frac{2x}{1+x^2} dx$ можно решить, заметив, что производная $1+x^2$ равна $2x$. Таким образом:
     $\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)$
   • Следовательно:
     $\mu(x) = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$

3. Умножение уравнения на интегрирующий фактор:

   • Умножаем обе части исходного уравнения на $\mu(x) = 1+x^2$:
     $(1+x^2)y' + (1+x^2)\frac{2x}{1+x^2}y = (1+x^2)\frac{2x^2}{1+x^2}$
     $(1+x^2)y' + 2xy = 2x^2$

4. Приведение левой части к производной произведения:

   • Замечаем, что левая часть уравнения является производной произведения $(1+x^2)y$:
     $\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = (1+x^2)y' + 2xy$
   • Таким образом, уравнение можно переписать как:
     $\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = 2x^2$

5. Интегрирование обеих частей:

   • Интегрируем обе части уравнения по $x$:
     $\int \frac{d}{dx}[(1+x^2)y] dx = \int 2x^2 dx$
     $(1+x^2)y = \frac{2}{3}x^3 + C$
     • Здесь $C$ - константа интегрирования.

6. Выражение $y$ через $x$ и $C$:

   • Делим обе части уравнения на $(1+x^2)$, чтобы выразить $y$:
     $y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + C}{1+x^2}$

7. Использование начального условия для нахождения $C$:

   • Подставляем начальное условие $y(0) = \frac{2}{3}$ в полученное общее решение:
     $\frac{2}{3} = \frac{\frac{2}{3}(0)^3 + C}{1+(0)^2}$
     $\frac{2}{3} = \frac{C}{1}$
     $C = \frac{2}{3}$

8. Подстановка значения $C$ в общее решение:

   • Подставляем найденное значение $C = \frac{2}{3}$ в общее решение:
     $y = \frac{\frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{3}}{1+x^2}$
   • Упрощаем выражение:
     $y = \frac{2x^3 + 2}{3(1+x^2)}$
     $y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}$

9. Факторизация и упрощение (необязательно, но полезно):

   • Заметим, что $x^3 + 1$ можно разложить на множители как $(x+1)(x^2-x+1)$:
     $y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}$

Ответ:

$y = \frac{2(x^3 + 1)}{3(x^2 + 1)}$ или $y = \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{3(x^2+1)}$

Оба варианта ответа эквивалентны.

[Другой способ решения]|Покажи другой способ решения этой задачи, например, с использованием замены переменной или метода Бернулли.
[Проверить ответ]|Как убедиться, что найденное решение действительно является решением исходного дифференциального уравнения и удовлетворяет начальному условию?