Анализ межотраслевых балансов по модели Леонтьева

Задание 5

Данная задача относится к экономике и требует применения модели Леонтьева для анализа межотраслевых балансов.

1. Интерпретация таблицы:

Таблица представляет собой балансовую таблицу двух отраслей (I и II).

• Производственное потребление: Показывает, сколько продукции одной отрасли потребляется другой отраслью для производства.
  • Строка I, столбец I (30): Отрасль I потребляет 30 единиц продукции отрасли I.
  • Строка I, столбец II (61): Отрасль II потребляет 61 единицу продукции отрасли I.
  • Строка II, столбец I (60): Отрасль I потребляет 60 единиц продукции отрасли II.
  • Строка II, столбец II (549): Отрасль II потребляет 549 единиц продукции отрасли II.
• Конечное потребление (Y): Показывает объем продукции, потребляемой вне производственного процесса (например, населением, государством).
  • Отрасль I: 9 единиц.
  • Отрасль II: 1 единица.
• Валовой выпуск (X): Общий объем производства каждой отрасли.
  • Отрасль I: 100 единиц.
  • Отрасль II: 610 единиц.

2. Составление матрицы прямых затрат (A):

Матрица прямых затрат показывает, сколько единиц продукции одной отрасли необходимо для производства одной единицы продукции другой отрасли. Элементы матрицы \(a_{ij}\) рассчитываются как:

\(a_{ij} = \frac{\text{Затраты отрасли } i \text{ на производство продукции отрасли } j}{\text{Валовой выпуск отрасли } j}\)

Для двух отраслей матрица A будет иметь вид:

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)

Где:
* \(a_{11}\): Затраты отрасли I на производство 1 ед. продукции отрасли I.
* \(a_{12}\): Затраты отрасли I на производство 1 ед. продукции отрасли II.
* \(a_{21}\): Затраты отрасли II на производство 1 ед. продукции отрасли I.
* \(a_{22}\): Затраты отрасли II на производство 1 ед. продукции отрасли II.

Расчет элементов матрицы A:

• \(a_{11} = \frac{30}{100} = 0.3\)
• \(a_{12} = \frac{61}{610} = 0.1\)
• \(a_{21} = \frac{60}{100} = 0.6\)
• \(a_{22} = \frac{549}{610} = 0.9\)

Таким образом, матрица прямых затрат A:

\(A = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.6 & 0.9 \end{pmatrix}\)

3. Расчет валового выпуска для нового варианта конечного потребления:

Для расчета валового выпуска (X) по новой модели используется формула:

\(X = (I - A)^{-1} \cdot Y_{new}\)

Где:
* \(X\) - вектор валового выпуска.
* \(I\) - единичная матрица.
* \(A\) - матрица прямых затрат.
* \((I - A)^{-1}\) - обратная матрица к \((I - A)\).
* \(Y_{new}\) - новый вектор конечного потребления.

Шаг 3.1: Находим матрицу \((I - A)\):

\(I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.3 & 0.1 \\ 0.6 & 0.9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0.3 & 0-0.1 \\ 0-0.6 & 1-0.9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.7 & -0.1 \\ -0.6 & 0.1 \end{pmatrix}\)

Шаг 3.2: Находим обратную матрицу \((I - A)^{-1}\):

Для матрицы 2x2 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), обратная матрица равна \(\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).

Определитель матрицы \((I - A)\):
\(det(I-A) = (0.7 \cdot 0.1) - (-0.1 \cdot -0.6) = 0.07 - 0.06 = 0.01\)

Обратная матрица:
\((I - A)^{-1} = \frac{1}{0.01} \begin{pmatrix} 0.1 & -(-0.1) \\ -(-0.6) & 0.7 \end{pmatrix} = 100 \begin{pmatrix} 0.1 & 0.1 \\ 0.6 & 0.7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 60 & 70 \end{pmatrix}\)

Шаг 3.3: Рассчитываем валовой выпуск для нового конечного потребления \(Y_{new} = (8; 7)\):

\(X_{new} = (I - A)^{-1} \cdot Y_{new} = \begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 60 & 70 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix}\)

\(X_{new} = \begin{pmatrix} (10 \cdot 8) + (10 \cdot 7) \\ (60 \cdot 8) + (70 \cdot 7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 + 70 \\ 480 + 490 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 150 \\ 970 \end{pmatrix}\)

Ответ: Новый вектор валового выпуска равен (150; 970).

4. Расчет валового выпуска для нового варианта добавленной стоимости (v = (2; 4)):

Вектор добавленной стоимости (v) представляет собой цену продукции. Валовой выпуск (X) может быть рассчитан как:

\(X = (I - A^T)^{-1} \cdot v\)

Где:
* \(A^T\) - транспонированная матрица прямых затрат.
* \((I - A^T)^{-1}\) - обратная матрица к \((I - A^T)\).

Шаг 4.1: Транспонируем матрицу A:

\(A^T = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.6 \\ 0.1 & 0.9 \end{pmatrix}\)

Шаг 4.2: Находим матрицу \((I - A^T)\):

\(I - A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.3 & 0.6 \\ 0.1 & 0.9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0.3 & 0-0.6 \\ 0-0.1 & 1-0.9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.7 & -0.6 \\ -0.1 & 0.1 \end{pmatrix}\)

Шаг 4.3: Находим обратную матрицу \((I - A^T)^{-1}\):

Определитель матрицы \((I - A^T)\):
\(det(I-A^T) = (0.7 \cdot 0.1) - (-0.6 \cdot -0.1) = 0.07 - 0.06 = 0.01\)

Обратная матрица:
\((I - A^T)^{-1} = \frac{1}{0.01} \begin{pmatrix} 0.1 & -(-0.6) \\ -(-0.1) & 0.7 \end{pmatrix} = 100 \begin{pmatrix} 0.1 & 0.6 \\ 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 60 \\ 10 & 70 \end{pmatrix}\)

Шаг 4.4: Рассчитываем валовой выпуск для нового вектора добавленной стоимости \(v = (2; 4)\):

\(X_{v} = (I - A^T)^{-1} \cdot v = \begin{pmatrix} 10 & 60 \\ 10 & 70 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)

\(X_{v} = \begin{pmatrix} (10 \cdot 2) + (60 \cdot 4) \\ (10 \cdot 2) + (70 \cdot 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 + 240 \\ 20 + 280 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 260 \\ 300 \end{pmatrix}\)

Ответ: Валовой выпуск, рассчитанный на основе вектора добавленной стоимости, равен (260; 300).