Решение интегралов: 5.6 и 5.7 из задачника

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим задания по порядку.

Задание 5.6 a)

Вычислить интеграл: \(\int (6\sin x + 4x^3 - \frac{1}{x}) dx\)

Решение:

1. Разбиваем интеграл на сумму интегралов:
   \(\int 6\sin x \, dx + \int 4x^3 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx\)

2. Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

   • \(\int 6\sin x \, dx = -6\cos x + C_1\)
   • \(\int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = x^4 + C_2\)
   • \(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C_3\)

3. Собираем все вместе:
   \(-6\cos x + x^4 - \ln|x| + C\), где \(C = C_1 + C_2 - C_3\)

Ответ:
\(\int (6\sin x + 4x^3 - \frac{1}{x}) dx = -6\cos x + x^4 - \ln|x| + C\)

Задание 5.6 б)

Вычислить определенный интеграл: \(\int_{0}^{1} (2x^2 - x + 4) dx\)

Решение:

1. Находим первообразную функции \(2x^2 - x + 4\):
   \(\int (2x^2 - x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x + C\)

2. Вычисляем значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:

   • В верхнем пределе (x = 1):
     \(F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 4 = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{24}{6} = \frac{25}{6}\)

   • В нижнем пределе (x = 0):
     \(F(0) = \frac{2}{3} \cdot 0^3 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0\)

3. Вычисляем разность значений первообразной:
   \(\int_{0}^{1} (2x^2 - x + 4) dx = F(1) - F(0) = \frac{25}{6} - 0 = \frac{25}{6}\)

Ответ:
\(\int_{0}^{1} (2x^2 - x + 4) dx = \frac{25}{6}\)

Задание 5.7 a)

Вычислить интеграл: \(\int (\frac{5}{x^2} - \frac{\cos x}{3} + 8x) dx\)

Решение:

1. Разбиваем интеграл на сумму интегралов:
   \(\int \frac{5}{x^2} dx - \int \frac{\cos x}{3} dx + \int 8x dx\)

2. Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

   • \(\int \frac{5}{x^2} dx = 5 \int x^{-2} dx = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{5}{x} + C_1\)
   • \(\int \frac{\cos x}{3} dx = \frac{1}{3} \int \cos x dx = \frac{1}{3} \sin x + C_2\)
   • \(\int 8x dx = 8 \cdot \frac{x^2}{2} + C_3 = 4x^2 + C_3\)

3. Собираем все вместе:
   \(-\frac{5}{x} - \frac{1}{3} \sin x + 4x^2 + C\), где \(C = C_1 - C_2 + C_3\)

Ответ:
\(\int (\frac{5}{x^2} - \frac{\cos x}{3} + 8x) dx = -\frac{5}{x} - \frac{1}{3} \sin x + 4x^2 + C\)