Решение тригонометрического выражения

Я понял, нужно упростить выражение в задании 8.

Задание 8

Для упрощения выражения
\(\frac{\cos \alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin \alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha}\)
при \(\alpha = \frac{\pi}{18}\), воспользуемся формулами преобразования разности косинусов и синусов в произведение:

\(\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\)
\(\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\)

Сгруппируем члены в числителе и знаменателе:

Числитель:
\(\cos \alpha + \cos 5\alpha - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \cos 3\alpha \cos \alpha = 2 \cos 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos \alpha) = 2 \cos 3\alpha (-2 \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}) = -4 \cos 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}\)

Знаменатель:
\(\sin \alpha + \sin 5\alpha - (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha - 2 \sin 3\alpha \cos \alpha = 2 \sin 3\alpha (\cos 2\alpha - \cos \alpha) = 2 \sin 3\alpha (-2 \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}) = -4 \sin 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}\)

Тогда выражение равно:
\(\frac{-4 \cos 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}}{-4 \sin 3\alpha \sin \frac{3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = \cot 3\alpha\)

Подставим \(\alpha = \frac{\pi}{18}\):
\(\cot 3\alpha = \cot (3 \cdot \frac{\pi}{18}) = \cot \frac{\pi}{6} = \cot 30^\circ = \sqrt{3}\)

Ответ: \(\sqrt{3}\)

Ассистент: Я понял, нужно найти абсциссы точек пересечения прямой \(y = -1\) и графика функции \(y = \sin x + \cos x\).

Задание 10

Для решения задачи необходимо найти значения \(x\), при которых выполняется равенство:
\(\sin x + \cos x = -1\)

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу для суммы синуса и косинуса:
\(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})\)

Тогда уравнение принимает вид:
\(\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1\)
\(\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Решения для \(x + \frac{\pi}{4}\):
\(x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\) или \(x + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Выразим \(x\):
\(x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\)
\(x = \pi + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k\)

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ассистент: Я понял, нужно решить задачу 10 другим способом.

Задание 10 (альтернативное решение)

Исходное уравнение:
\(\sin x + \cos x = -1\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sin x + \cos x)^2 = (-1)^2\)
\(\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1\)
\(1 + 2 \sin x \cos x = 1\)
\(2 \sin x \cos x = 0\)
\(\sin 2x = 0\)

Решения для \(2x\):
\(2x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \frac{\pi k}{2}\)

Теперь нужно проверить, какие из этих решений удовлетворяют исходному уравнению \(\sin x + \cos x = -1\).

• \(k = 0\): \(x = 0\), \(\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 \neq -1\) (не подходит)
• \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{2}\), \(\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 \neq -1\) (не подходит)
• \(k = 2\): \(x = \pi\), \(\sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1\) (подходит)
• \(k = 3\): \(x = \frac{3\pi}{2}\), \(\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1\) (подходит)
• \(k = 4\): \(x = 2\pi\), \(\sin 2\pi + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 \neq -1\) (не подходит)

Таким образом, решения имеют вид:
\(x = \pi + 2\pi n\) и \(x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)

Заметим, что \(\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi\), поэтому можно записать общее решение как:
\(x = \pi + 2\pi n\) и \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\)

Сравнение методов:

• Первый метод (использование формулы \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})\)) более прямой и позволяет избежать возведения в квадрат, что упрощает процесс и уменьшает вероятность появления посторонних корней.
• Второй метод (возведение в квадрат) приводит к необходимости проверки корней, так как возведение в квадрат может ввести посторонние решения.

Преимущества первого метода:

• Более простой и быстрый.
• Меньше вероятность ошибок из-за отсутствия необходимости проверки корней.

Преимущества второго метода:

• Может быть полезен, если трудно применить другие методы.

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)