Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу с решением.

Задание 4

Необходимо сложить дроби: $\frac{xy}{z^2} + \frac{yz}{x^2} + \frac{zx}{y^2}$.

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $x^2y^2z^2$.

1. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

   • $\frac{xy}{z^2} = \frac{xy \cdot x^2y^2}{z^2 \cdot x^2y^2} = \frac{x^3y^3}{x^2y^2z^2}$
   • $\frac{yz}{x^2} = \frac{yz \cdot y^2z^2}{x^2 \cdot y^2z^2} = \frac{y^3z^3}{x^2y^2z^2}$
   • $\frac{zx}{y^2} = \frac{zx \cdot z^2x^2}{y^2 \cdot z^2x^2} = \frac{z^3x^3}{x^2y^2z^2}$

2. Сложим дроби с общим знаменателем:

   $\frac{x^3y^3}{x^2y^2z^2} + \frac{y^3z^3}{x^2y^2z^2} + \frac{z^3x^3}{x^2y^2z^2} = \frac{x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3}{x^2y^2z^2}$

Ответ: $\frac{x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3}{x^2y^2z^2}$

Задание 5

Необходимо упростить выражение: $\frac{3x}{x-1} + \frac{3x}{x+1} + \frac{12x}{2(1-x^2)}$.

1. Преобразуем последнее слагаемое:

   $\frac{12x}{2(1-x^2)} = \frac{6x}{1-x^2} = -\frac{6x}{x^2-1} = -\frac{6x}{(x-1)(x+1)}$

2. Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю:

   $\frac{3x}{x-1} + \frac{3x}{x+1} = \frac{3x(x+1) + 3x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2 + 3x + 3x^2 - 3x}{(x-1)(x+1)} = \frac{6x^2}{(x-1)(x+1)}$

3. Сложим все три слагаемых:

   $\frac{6x^2}{(x-1)(x+1)} - \frac{6x}{(x-1)(x+1)} = \frac{6x^2 - 6x}{(x-1)(x+1)} = \frac{6x(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

4. Сократим дробь:

   $\frac{6x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{6x}{x+1}$

Ответ: $\frac{6x}{x+1}$

Задание 6

Необходимо упростить выражение: $\frac{(x-y)^2 + 4xy}{x+y} : \frac{x-y}{x+y}$.

1. Упростим числитель первой дроби:

   $(x-y)^2 + 4xy = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

2. Заменим деление умножением на обратную дробь:

   $\frac{(x+y)^2}{x+y} : \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y}$

3. Сократим дроби:

   $\frac{(x+y)^2}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x+y)(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x+y)^2}{x-y}$

Ответ: $\frac{(x+y)^2}{x-y}$