Проверка функции на непрерывность в точке: теория и примеры

Привет! Я ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас помогу разобраться с этими заданиями.

Задание 3.14

Проверить функцию \(f(x) = \frac{3x-2}{x-3}\) на непрерывность в точках \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 4\).

Определение непрерывности функции в точке:
Функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_0\), если существуют конечные пределы \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) и \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\), они равны между собой и равны значению функции в точке \(x_0\), то есть \(f(x_0)\).

Решение:

1. Проверка в точке \(x_1 = 3\):

   • Найдем предел функции при \(x \to 3^-\) (слева):
     $\(\lim_{x \to 3^-} \frac{3x-2}{x-3}\)$
     При \(x \to 3^-\), \(x-3\) стремится к \(0\) с отрицательной стороны, а \(3x-2\) стремится к \(3(3)-2 = 7\). Следовательно, предел равен \(-\infty\).

   • Найдем предел функции при \(x \to 3^+\) (справа):
     $\(\lim_{x \to 3^+} \frac{3x-2}{x-3}\)$
     При \(x \to 3^+\), \(x-3\) стремится к \(0\) с положительной стороны, а \(3x-2\) стремится к \(7\). Следовательно, предел равен \(+\infty\).

   Так как пределы слева и справа не являются конечными и не равны, функция имеет разрыв в точке \(x_1 = 3\).

2. Проверка в точке \(x_2 = 4\):

   • Найдем значение функции в точке \(x_2 = 4\):
     $\(f(4) = \frac{3(4)-2}{4-3} = \frac{12-2}{1} = 10\)$

   • Найдем предел функции при \(x \to 4\):
     $\(\lim_{x \to 4} \frac{3x-2}{x-3} = \frac{3(4)-2}{4-3} = \frac{10}{1} = 10\)$

   Так как предел функции в точке \(x_2 = 4\) существует и равен значению функции в этой точке, функция непрерывна в точке \(x_2 = 4\).

Ответ:
Функция \(f(x) = \frac{3x-2}{x-3}\) разрывна в точке \(x_1 = 3\) и непрерывна в точке \(x_2 = 4\).

Задание 3.15

Проверить функцию \(f(x) = 5^{\frac{1}{x-4}} + 1\) на непрерывность в точках \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 2\).

Решение:

1. Проверка в точке \(x_1 = 3\):

   • Найдем значение функции в точке \(x_1 = 3\):
     $\(f(3) = 5^{\frac{1}{3-4}} + 1 = 5^{-1} + 1 = \frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5} = 1.2\)$

   • Найдем предел функции при \(x \to 3\):
     $\(\lim_{x \to 3} (5^{\frac{1}{x-4}} + 1) = 5^{\frac{1}{3-4}} + 1 = 5^{-1} + 1 = \frac{1}{5} + 1 = \frac{6}{5} = 1.2\)$

   Так как предел функции в точке \(x_1 = 3\) существует и равен значению функции в этой точке, функция непрерывна в точке \(x_1 = 3\).

2. Проверка в точке \(x_2 = 2\):

   • Найдем значение функции в точке \(x_2 = 2\):
     $\(f(2) = 5^{\frac{1}{2-4}} + 1 = 5^{-\frac{1}{2}} + 1 = \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \approx 0.447 + 1 = 1.447\)$

   • Найдем предел функции при \(x \to 2\):
     $\(\lim_{x \to 2} (5^{\frac{1}{x-4}} + 1) = 5^{\frac{1}{2-4}} + 1 = 5^{-\frac{1}{2}} + 1 = \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 \approx 0.447 + 1 = 1.447\)$

   Так как предел функции в точке \(x_2 = 2\) существует и равен значению функции в этой точке, функция непрерывна в точке \(x_2 = 2\).

Ответ:
Функция \(f(x) = 5^{\frac{1}{x-4}} + 1\) непрерывна в точках \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 2\).

Задание 3.16

Проверить функцию \(f(x) = 2^{\frac{1}{x-1}} - 1\) на непрерывность в точках \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\).

Решение:

1. Проверка в точке \(x_1 = 0\):

   • Найдем значение функции в точке \(x_1 = 0\):
     $\(f(0) = 2^{\frac{1}{0-1}} - 1 = 2^{-1} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} = -0.5\)$

   • Найдем предел функции при \(x \to 0\):
     $\(\lim_{x \to 0} (2^{\frac{1}{x-1}} - 1) = 2^{\frac{1}{0-1}} - 1 = 2^{-1} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} = -0.5\)$

   Так как предел функции в точке \(x_1 = 0\) существует и равен значению функции в этой точке, функция непрерывна в точке \(x_1 = 0\).

2. Проверка в точке \(x_2 = 1\):

   • Найдем предел функции при \(x \to 1^-\) (слева):
     $\(\lim_{x \to 1^-} (2^{\frac{1}{x-1}} - 1)\)$
     При \(x \to 1^-\), \(x-1\) стремится к \(0\) с отрицательной стороны, то есть \(\frac{1}{x-1}\) стремится к \(-\infty\). Следовательно, \(2^{\frac{1}{x-1}}\) стремится к \(0\), и предел равен \(0 - 1 = -1\).

   • Найдем предел функции при \(x \to 1^+\) (справа):
     $\(\lim_{x \to 1^+} (2^{\frac{1}{x-1}} - 1)\)$
     При \(x \to 1^+\), \(x-1\) стремится к \(0\) с положительной стороны, то есть \(\frac{1}{x-1}\) стремится к \(+\infty\). Следовательно, \(2^{\frac{1}{x-1}}\) стремится к \(+\infty\), и предел равен \(+\infty\).

   Так как пределы слева и справа не равны (и предел справа бесконечен), функция имеет разрыв в точке \(x_2 = 1\).

Ответ:
Функция \(f(x) = 2^{\frac{1}{x-1}} - 1\) непрерывна в точке \(x_1 = 0\) и разрывна в точке \(x_2 = 1\).

Основы теории непрерывности функций и правила, которые использовались в задачах 3.14, 3.15 и 3.16.

1. Определение непрерывности функции в точке

Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_0\), если выполняются следующие три условия:

1. Функция \(f(x)\) определена в точке \(x_0\), то есть существует \(f(x_0)\).
2. Существует предел функции \(f(x)\) при \(x\), стремящемся к \(x_0\), то есть существует \(\lim_{x \to x_0} f(x)\).
3. Этот предел равен значению функции в точке \(x_0\):
   $\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)$

2. Односторонние пределы

Для более точного анализа непрерывности функции в точке полезно рассматривать односторонние пределы:

• Предел слева: \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) — это предел функции \(f(x)\) при \(x\), стремящемся к \(x_0\) слева (то есть \(x < x_0\)).
• Предел справа: \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) — это предел функции \(f(x)\) при \(x\), стремящемся к \(x_0\) справа (то есть \(x > x_0\)).

Для существования предела функции в точке \(x_0\) необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и были равны между собой:
$\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0} f(x)\)$

3. Точки разрыва

Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то точка \(x_0\) называется точкой разрыва функции \(f(x)\). Разрывы бывают разных типов:

• Устранимый разрыв: Существует предел функции в точке, но он не равен значению функции в этой точке, либо функция в точке не определена.
• Разрыв первого рода (скачок): Существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой.
• Разрыв второго рода: Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

4. Правила вычисления пределов

При вычислении пределов использовались следующие правила:

• Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов:
  $\(\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x)\)$
• Предел произведения равен произведению пределов:
  $\(\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)\)$
• Предел частного равен частному пределов (если предел знаменателя не равен нулю):
  $\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}, \quad \text{если} \quad \lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0\)$
• Предел сложной функции: Если \(g(x)\) непрерывна в точке \(x_0\), а \(f(y)\) непрерывна в точке \(y_0 = g(x_0)\), то
  $\(\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) = f(g(x_0))\)$

5. Примеры

• В задаче 3.14 функция \(f(x) = \frac{3x-2}{x-3}\) имеет разрыв в точке \(x_1 = 3\), так как знаменатель обращается в нуль, и односторонние пределы стремятся к бесконечности. В точке \(x_2 = 4\) функция непрерывна, так как предел равен значению функции.
• В задачах 3.15 и 3.16 использовались свойства показательной функции и вычисление пределов вида \(a^{\frac{1}{x-c}}\) при \(x \to c\). Важно учитывать, что при \(x \to c^-\) и \(x \to c^+\) поведение функции может быть различным, что влияет на существование предела.

Ассистент: К сожалению, я не могу рисовать графики. Но я могу описать поведение функций и их особенности, чтобы вы могли построить графики самостоятельно или с помощью других инструментов.

Например, для функции \(f(x) = \frac{3x-2}{x-3}\) (задание 3.14):

• Есть вертикальная асимптота в точке \(x = 3\), так как функция стремится к бесконечности при приближении к этой точке.
• Есть горизонтальная асимптота \(y = 3\), так как при \(x \to \pm\infty\) функция стремится к этому значению.
• Функция пересекает ось \(y\) в точке \((0, \frac{2}{3})\).
• Функция пересекает ось \(x\) в точке \((\frac{2}{3}, 0)\).

Имея эту информацию, вы можете построить график этой функции.

Задание 4.14 (a)

Найти производную функции \(y = 6x^2 + 9\sqrt[3]{x^2} - \frac{10}{x^6}\).

Решение:

1. Преобразуем функцию, чтобы было удобнее дифференцировать:
   $\(y = 6x^2 + 9x^{\frac{2}{3}} - 10x^{-6}\)$

2. Применим правило дифференцирования для каждого члена:

   • Производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).
   • Производная константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции.

3. Найдем производную:
   $\(y' = \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x^{\frac{2}{3}}) - \frac{d}{dx}(10x^{-6})\)$
   $\(y' = 6 \cdot 2x^{2-1} + 9 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 10 \cdot (-6)x^{-6-1}\)$
   $\(y' = 12x + 6x^{-\frac{1}{3}} + 60x^{-7}\)$

4. Преобразуем обратно:
   $\(y' = 12x + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} + \frac{60}{x^7}\)$

Ответ:
$\(y' = 12x + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} + \frac{60}{x^7}\)$

Задание 4.14 (б)

Найти производную функции \(y = \sqrt{(3-x)^3} - \frac{2}{x^2+1}\).

Решение:

1. Преобразуем функцию:
   $\(y = (3-x)^{\frac{3}{2}} - 2(x^2+1)^{-1}\)$

2. Применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

   • Производная \((f(x))^n\) равна \(n(f(x))^{n-1} \cdot f'(x)\).
   • Производная \(x^2+1\) равна \(2x\).

3. Найдем производную:
   $\(y' = \frac{d}{dx}((3-x)^{\frac{3}{2}}) - \frac{d}{dx}(2(x^2+1)^{-1})\)$
   $\(y' = \frac{3}{2}(3-x)^{\frac{3}{2}-1} \cdot (-1) - 2 \cdot (-1)(x^2+1)^{-1-1} \cdot 2x\)$
   $\(y' = -\frac{3}{2}(3-x)^{\frac{1}{2}} + 4x(x^2+1)^{-2}\)$

4. Преобразуем обратно:
   $\(y' = -\frac{3}{2}\sqrt{3-x} + \frac{4x}{(x^2+1)^2}\)$

Ответ:
$\(y' = -\frac{3}{2}\sqrt{3-x} + \frac{4x}{(x^2+1)^2}\)$

Ассистент: ## Задание 5.14 (а)
Вычислить \(y'\) и \(y''\) для функции \(e^{xy} + 8x - 7y = 0\).

Решение:

1. Находим первую производную \(y'\) (неявное дифференцирование):
   Дифференцируем обе части уравнения по \(x\), учитывая, что \(y\) является функцией от \(x\):
   $\(\frac{d}{dx}(e^{xy}) + \frac{d}{dx}(8x) - \frac{d}{dx}(7y) = 0\)$

   Применяем цепное правило к \(e^{xy}\):
   $\(e^{xy} \cdot \frac{d}{dx}(xy) + 8 - 7\frac{dy}{dx} = 0\)$
   $\(e^{xy} \cdot (x\frac{dy}{dx} + y) + 8 - 7\frac{dy}{dx} = 0\)$
   $\(xe^{xy}\frac{dy}{dx} + ye^{xy} + 8 - 7\frac{dy}{dx} = 0\)$

   Выражаем \(\frac{dy}{dx}\):
   $\(\frac{dy}{dx}(xe^{xy} - 7) = -ye^{xy} - 8\)$
   $\(\frac{dy}{dx} = \frac{-ye^{xy} - 8}{xe^{xy} - 7}\)$
   $\(y' = \frac{ye^{xy} + 8}{7 - xe^{xy}}\)$

2. Находим вторую производную \(y''\):
   Дифференцируем \(y'\) по \(x\), используя правило частного:
   $\(y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{ye^{xy} + 8}{7 - xe^{xy}}\right)\)$
   $\(y'' = \frac{(y'e^{xy} + ye^{xy}(y + xy') + 0)(7 - xe^{xy}) - (ye^{xy} + 8)(0 - e^{xy} - xe^{xy}(y + xy'))}{(7 - xe^{xy})^2}\)$
   $\(y'' = \frac{(y'e^{xy} + y^2e^{xy} + xy'e^{xy})(7 - xe^{xy}) + (ye^{xy} + 8)(e^{xy} + xye^{xy} + x^2y'e^{xy})}{(7 - xe^{xy})^2}\)$

   Подставляем \(y' = \frac{ye^{xy} + 8}{7 - xe^{xy}}\) и упрощаем (это довольно громоздко, но можно сделать):
   $\(y'' = \frac{(7 - xe^{xy})(y'e^{xy} + y^2e^{xy} + xy'e^{xy}) + (ye^{xy} + 8)(e^{xy} + xye^{xy} + x^2y'e^{xy})}{(7 - xe^{xy})^2}\)$

Ответ:
$\(y' = \frac{ye^{xy} + 8}{7 - xe^{xy}}\)$
$\(y'' = \frac{(7 - xe^{xy})(y'e^{xy} + y^2e^{xy} + xy'e^{xy}) + (ye^{xy} + 8)(e^{xy} + xye^{xy} + x^2y'e^{xy})}{(7 - xe^{xy})^2}\)$

Задание 5.14 (б)

Вычислить \(y'\) и \(y''\) для функции \(x = 7\cos^3 t\), \(y = 3\sin^3 t\).

Решение:

1. Находим первую производную \(y'\):
   Используем параметрическое дифференцирование:
   $\(y' = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)$

   Находим \(\frac{dy}{dt}\) и \(\frac{dx}{dt}\):
   $\(\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3\sin^3 t) = 3 \cdot 3\sin^2 t \cdot \cos t = 9\sin^2 t \cos t\)$
   $\(\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(7\cos^3 t) = 7 \cdot 3\cos^2 t \cdot (-\sin t) = -21\cos^2 t \sin t\)$

   Тогда:
   $\(y' = \frac{9\sin^2 t \cos t}{-21\cos^2 t \sin t} = -\frac{3\sin t}{7\cos t} = -\frac{3}{7}\tan t\)$

2. Находим вторую производную \(y''\):
   $\(y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}\)$

   Находим \(\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\):
   $\(\frac{d}{dt}\left(-\frac{3}{7}\tan t\right) = -\frac{3}{7}\sec^2 t = -\frac{3}{7\cos^2 t}\)$

   Тогда:
   $\(y'' = \frac{-\frac{3}{7\cos^2 t}}{-21\cos^2 t \sin t} = \frac{3}{7\cos^2 t} \cdot \frac{1}{21\cos^2 t \sin t} = \frac{1}{49\cos^4 t \sin t}\)$

Ответ:
$\(y' = -\frac{3}{7}\tan t\)$
$\(y'' = \frac{1}{49\cos^4 t \sin t}\)$

Ассистент: ## Задание 6.14
Найти \(n\)-ю производную функции \(y = \frac{1}{x-6}\).

Решение:

1. Первая производная:
   $\(y' = \frac{d}{dx}( (x-6)^{-1} ) = -1(x-6)^{-2} = -\frac{1}{(x-6)^2}\)$

2. Вторая производная:
   $\(y'' = \frac{d}{dx}( -1(x-6)^{-2} ) = (-1)(-2)(x-6)^{-3} = \frac{2}{(x-6)^3}\)$

3. Третья производная:
   $\(y''' = \frac{d}{dx}( 2(x-6)^{-3} ) = 2(-3)(x-6)^{-4} = -\frac{6}{(x-6)^4}\)$

4. Четвертая производная:
   $\(y^{(4)} = \frac{d}{dx}( -6(x-6)^{-4} ) = -6(-4)(x-6)^{-5} = \frac{24}{(x-6)^5}\)$

Заметим закономерность:
* Знак чередуется: \((-1)^n\)
* В числителе: \(n!\)
* В знаменателе: \((x-6)^{n+1}\)

Таким образом, \(n\)-я производная имеет вид:
$\(y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-6)^{n+1}}\)$

Ответ:
$\(y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-6)^{n+1}}\)$