Решение задач с квадратными корнями: вычисления и упрощения

Раскрытие скобок:

• Мы начинаем с раскрытия скобок в выражении \((3\sqrt{2}-2)(4\sqrt{2}+7)\). Для этого используем правило умножения каждого члена первой скобки на каждый член второй скобки. Это называется дистрибутивным законом.
• \((3\sqrt{2}-2)(4\sqrt{2}+7) = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 7 - 2 \cdot 4\sqrt{2} - 2 \cdot 7\)

Упрощение:

• Теперь упростим каждое слагаемое:
  • \(3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 12 \cdot (\sqrt{2})^2 = 12 \cdot 2 = 24\)
  • \(3\sqrt{2} \cdot 7 = 21\sqrt{2}\)
  • \(-2 \cdot 4\sqrt{2} = -8\sqrt{2}\)
  • \(-2 \cdot 7 = -14\)
• Соберем все вместе:
  \(24 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14\)
• Приведем подобные слагаемые (числа и члены с \(\sqrt{2}\)):
  \(24 - 14 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 10 + 13\sqrt{2}\)

Вычитание \(13\sqrt{2}\):

• Теперь вычтем \(13\sqrt{2}\) из полученного выражения:
  \(10 + 13\sqrt{2} - 13\sqrt{2}\)
• \(13\sqrt{2}\) и \(-13\sqrt{2}\) взаимно уничтожаются, остается только число 10.

Раскрытие первой скобки:

• Используем формулу квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = 3\sqrt{2}\) и \(b = 2\).
• \((3\sqrt{2}+2)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 + 2^2\)
• Упростим:
  • \((3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\)
  • \(2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 = 12\sqrt{2}\)
  • \(2^2 = 4\)
• Соберем все вместе:
  \(18 + 12\sqrt{2} + 4 = 22 + 12\sqrt{2}\)

Раскрытие второй скобки:

• Используем формулу квадрата разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), где \(a = 6\) и \(b = \sqrt{2}\).
• \((6-\sqrt{2})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\)
• Упростим:
  • \(6^2 = 36\)
  • \(-2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = -12\sqrt{2}\)
  • \((\sqrt{2})^2 = 2\)
• Соберем все вместе:
  \(36 - 12\sqrt{2} + 2 = 38 - 12\sqrt{2}\)

Сложение результатов:

• Сложим результаты раскрытия обеих скобок:
  \((22 + 12\sqrt{2}) + (38 - 12\sqrt{2})\)
• \(22 + 38 + 12\sqrt{2} - 12\sqrt{2}\)
• \(12\sqrt{2}\) и \(-12\sqrt{2}\) взаимно уничтожаются, остается:
  \(22 + 38 = 60\)

Упрощение первого выражения:

• Заметим, что \((\sqrt{11}-2\sqrt{2})(\sqrt{11}+2\sqrt{2})\) — это разность квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), где \(a = \sqrt{11}\) и \(b = 2\sqrt{2}\).
• \((\sqrt{11}-2\sqrt{2})(\sqrt{11}+2\sqrt{2}) = (\sqrt{11})^2 - (2\sqrt{2})^2\)
• Упростим:
  • \((\sqrt{11})^2 = 11\)
  • \((2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\)
• \(11 - 8 = 3\)

Упрощение второго выражения:

• \((-2\sqrt{5})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2\)
• \((-2)^2 = 4\)
• \((\sqrt{5})^2 = 5\)
• \(4 \cdot 5 = 20\)

Сложение результатов:

• Сложим результаты упрощения обоих выражений:
  \(3 + 20 = 23\)