Задача с уроков олимпиадной математики (uchi.ru): на экране дана ступенчатая фигура из кубиков, а рядом — несколько фигур-кандидатов. Нужно достроить фигуру до полного куба так, чтобы внутри не осталось пустот и все стороны получившегося куба были равны. Фигуры можно поворачивать. Ниже — сколько кубиков не хватает и как их закрыть.
Что дано на картинке
Данная фигура — это ступенчатая "пирамидка" из трёх уровней, собранная из 14 кубиков:
- нижний уровень — полный сплошной слой 3×3, девять кубиков;
- второй уровень — три кубика: два стоят прямо под кубиками третьего уровня и держат их, а один стоит отдельно, его верх виден отдельным светлым ромбиком;
- третий, самый высокий уровень — два кубика, это вершина фигуры.
Целевой куб — 3×3×3, то есть 27 кубиков. Значит, до полного куба не хватает 27 − 14 = 13 кубиков.
Справа предложены три фигуры-кандидата: оранжевая — стенка 2×2 плюс один кубик, выступающий вбок на нижнем уровне (итого 5 кубиков), синяя — столбик из трёх кубиков плюс один сбоку (4 кубика), фиолетовая — уголок из трёх кубиков в основании плюс один кубик сверху на конце уголка (4 кубика). Светло-сиреневая фигура внизу справа — это та же фиолетовая фигура, просто показанная бледным цветом как подсказка-силуэт, а не отдельный четвёртый вариант.
Ответ
До полного куба не хватает 13 кубиков. Все пять скрытых (невидимых на фото) клеток лежат прямо под уже выставленными кубиками — без них верх фигуры висел бы в воздухе, поэтому недостающий объём считается однозначно: 27 − 14 = 13.
Это ровно сумма трёх предложенных фигур: 5 (оранжевая) + 4 (синяя) + 4 (фиолетовая) = 13. Значит, задача решается не одним ходом, а несколькими: нужно по очереди поставить на место все три фигуры, каждый раз поворачивая её так, чтобы она легла заподлицо с уже стоящими кубиками без зазоров. На скриншоте зафиксирован только один из таких шагов — в редактор уже взята фиолетовая фигура (вокруг неё стрелки поворота, галочка подтверждения и кнопка "отменить"), это не единственный верный ответ на всю задачу, а один из трёх ходов.
Как рассуждать: считаем недостающие кубики
Чтобы не гадать "на глаз", надёжнее посчитать пустой объём числом, а не по силуэту:
- Сколько кубиков дано. В исходной фигуре три уровня: 9 (низ) + 3 (середина) + 2 (верх) = 14 кубиков.
- Сколько нужно всего. Готовый куб — 3×3×3 = 27 кубиков.
- Сколько не хватает. 27 − 14 = 13 кубиков — это и есть суммарный объём всех пустот.
- Проверяем предложенные фигуры на объём. Считаем кубики в каждом варианте: оранжевая — 5, синяя — 4, фиолетовая — 4. Сумма 5 + 4 + 4 = 13 совпадает с недостающим объёмом ровно — значит, в дело идут все три фигуры, а не одна.
- Проверяем, что пустоты несущие. Все пять скрытых клеток лежат прямо под кубиками фигуры, ни одна не "висит" сама по себе — поэтому подсчёт по объёму, а не на глаз, даёт точный и однозначный ответ.
Как фигуры закрывают пустоты
Каждая из трёх фигур занимает свою часть недостающего объёма:
- Оранжевая (5 кубиков). Это не плоская панель: у неё есть кубик, выступающий вбок на нижнем уровне, поэтому на миниатюре видно три верхние грани на разных высотах, а не две на одной, как было бы у ровной панели 2×2.
- Синяя (4 кубика). Столбик из трёх кубиков с одним кубиком сбоку — узкая и высокая фигура, закрывает соответствующий участок пустоты.
- Фиолетовая (4 кубика). Это уголок (L-форма), а не ряд: три кубика лежат в плоскости основания, и один кубик стоит сверху на конце уголка. Поворачивать её нужно, ориентируясь на форму уголка, а не на прямой ряд из трёх кубиков.
Все три фигуры вместе закрывают ровно 13 пустых клеток без остатка — такая укладка существует (найдена при переборе поворотов). На фото зафиксирован лишь один из шагов её сборки.
Частые ошибки
-
Выбирать фигуру только по числу кубиков, не глядя на форму.
У оранжевой — 5 кубиков, у синей и фиолетовой — по 4, но формы у всех трёх разные: у оранжевой кубик выступает вбок на нижнем уровне, у синей — узкий столбик с кубиком сбоку, у фиолетовой — уголок с кубиком сверху на конце. Сравнивай именно форму, а не только количество кубиков.
-
Забыть, что фигуру можно и нужно поворачивать.
Само задание разрешает поворачивать обе фигуры — и данную, и фигуру-кандидата. Прежде чем отбрасывать вариант, попробуй мысленно повернуть его на 90° или 180°: подходящая по форме фигура может на картинке казаться развёрнутой не в ту сторону.
-
Считать пустотой любой зрительный "уступ" на рисунке.
Уступ между уровнями — это не пустота внутри куба, а просто недостроенная часть снаружи. Пустота — это дырка внутри уже готового куба. Здесь её нет: нужно именно достроить фигуру до сплошного прямоугольного блока.
Вопросы и ответы
Что значит "все стороны куба были равны"?
Это значит, что готовая фигура должна получиться в виде правильного прямоугольного блока (куба) — без выступов, пустот и без того, чтобы одна грань была длиннее другой. Ступенчатая форма, которая дана в задаче, — это ещё не готовый куб, а его недостроенная часть.
Можно ли добавить сразу несколько фигур из тех, что предложены?
В этой задаче — нужно. До полного куба не хватает 13 кубиков, а по отдельности фигуры дают только 5, 4 и 4 — ни одна из них не закрывает пустоту целиком. Правильно ставить их одну за другой, каждый раз поворачивая так, чтобы новая фигура легла заподлицо с уже стоящими кубиками. Если после одной фигуры пустоты остались — это нормально, продолжай следующей фигурой, а не ищи другой поворот той же.
Как проверить, что кубики поставлены правильно, ещё до нажатия на кнопку подтверждения?
Мысленно "проведи" по краю нижнего слоя фигуры: если после добавления новой фигуры вдоль всего края не осталось голых промежутков и высота везде выравнивается без провалов — расположение верное.
