Упорядочивание многочленов по убыванию степеней переменной

Задание 6

Условие: Следующие выражения, что касаются \(x\), упорядочите по убыванию степеней. Говорят, что это упорядочение по убыванию.

(1) \(4a^2 + ax + 2x - 3a\)
(2) \(2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2\)

Решение

Часть (1):
Дан многочлен \(4a^2 + ax + 2x - 3a\). Нам нужно упорядочить его по убыванию степеней \(x\).

1. Определим степени \(x\) в каждом члене:

   • \(4a^2\): Здесь нет \(x\), поэтому степень \(x\) равна 0.
   • \(ax\): Здесь \(x\) в первой степени, то есть \(x^1\).
   • \(2x\): Здесь \(x\) в первой степени, то есть \(x^1\).
   • \(-3a\): Здесь нет \(x\), поэтому степень \(x\) равна 0.

2. Сгруппируем члены по степеням \(x\):

   • Члены с \(x^1\): \(ax + 2x\)
   • Члены с \(x^0\) (константы относительно \(x\)): \(4a^2 - 3a\)

3. Упорядочим по убыванию степеней \(x\):
   Начинаем с самой высокой степени \(x\), то есть \(x^1\), затем идет \(x^0\).

   • Сначала члены с \(x^1\): \((ax + 2x)\). Мы можем вынести \(x\) за скобки: \((a+2)x\).
   • Затем члены с \(x^0\): \(4a^2 - 3a\).

4. Записываем итоговый многочлен:
   \((a+2)x + (4a^2 - 3a)\)

   Примечание: В некоторых случаях, когда требуется упорядочить по убыванию степеней некоторой переменной, члены, не содержащие эту переменную, считаются членами нулевой степени. Если в выражении есть члены с одинаковой степенью переменной, их обычно объединяют или оставляют в исходном виде, если их нельзя упростить. Здесь \(ax\) и \(2x\) оба имеют \(x^1\).

Окончательный ответ (1): \((a+2)x + 4a^2 - 3a\)

Часть (2):
Дан многочлен \(2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2\). Нам нужно упорядочить его по убыванию степеней \(x\).

1. Определим степени \(x\) в каждом члене:

   • \(2x^2\): Здесь \(x\) во второй степени, то есть \(x^2\).
   • \(5xy\): Здесь \(x\) в первой степени, то есть \(x^1\).
   • \(3y^2\): Здесь нет \(x\), поэтому степень \(x\) равна 0.
   • \(-3x\): Здесь \(x\) в первой степени, то есть \(x^1\).
   • \(-5y\): Здесь нет \(x\), поэтому степень \(x\) равна 0.
   • \(-2\): Здесь нет \(x\), поэтому степень \(x\) равна 0.

2. Сгруппируем члены по степеням \(x\):

   • Члены с \(x^2\): \(2x^2\)
   • Члены с \(x^1\): \(5xy - 3x\)
   • Члены с \(x^0\) (константы относительно \(x\)): \(3y^2 - 5y - 2\)

3. Упорядочим по убыванию степеней \(x\):
   Начинаем с самой высокой степени \(x\), то есть \(x^2\), затем идет \(x^1\), и в конце \(x^0\).

   • Сначала члены с \(x^2\): \(2x^2\).
   • Затем члены с \(x^1\): \(5xy - 3x\). Вынесем \(x\) за скобки: \((5y - 3)x\).
   • Наконец, члены с \(x^0\): \(3y^2 - 5y - 2\).

4. Записываем итоговый многочлен:
   \(2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)\)

Окончательный ответ (2): \(2x^2 + (5y - 3)x + 3y^2 - 5y - 2\)

承知いたしました。日本語で回答します。

問題6

条件: 次の多項式を、\(x\) について降べきの順に整理せよ。このことを、降べきの順に並べるという。

(1) \(4a^2 + ax + 2x - 3a\)
(2) \(2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2\)

解答

(1) の場合:
与えられた多項式は \(4a^2 + ax + 2x - 3a\) です。これを \(x\) について降べきの順に整理します。

1. 各項における \(x\) の次数を特定します:

   • \(4a^2\): \(x\) が含まれていないため、\(x\) の次数は 0 です。
   • \(ax\): \(x\) は1乗、\(x^1\) です。
   • \(2x\): \(x\) は1乗、\(x^1\) です。
   • \(-3a\): \(x\) が含まれていないため、\(x\) の次数は 0 です。

2. \(x\) の次数ごとに項をまとめます:

   • \(x^1\) の項: \(ax + 2x\)
   • \(x^0\) の項 ( \(x\) に関する定数項): \(4a^2 - 3a\)

3. \(x\) の次数について降順に並べます:
   最も高い \(x\) の次数、\(x^1\) から始め、次に \(x^0\) が続きます。

   • まず、\(x^1\) の項: \((ax + 2x)\)。\(x\) を共通因数としてくくり出すことができます: \((a+2)x\)。
   • 次に、\(x^0\) の項: \(4a^2 - 3a\)。

4. 最終的な多項式を記述します:
   \((a+2)x + (4a^2 - 3a)\)

   注: ある変数の降べきの順に整理する場合、その変数を含まない項は0次の項として扱われます。同じ次数を持つ項がある場合、それらをまとめるか、簡略化できない場合はそのままにしておきます。ここでは、\(ax\) と \(2x\) は両方とも \(x^1\) を持っています。

解答 (1): \((a+2)x + 4a^2 - 3a\)

\(2\) の場合:
与えられた多項式は \(2x^2 + 5xy + 3y^2 - 3x - 5y - 2\) です。これを \(x\) について降べきの順に整理します。

1. 各項における \(x\) の次数を特定します:

   • \(2x^2\): \(x\) は2乗、\(x^2\) です。
   • \(5xy\): \(x\) は1乗、\(x^1\) です。
   • \(3y^2\): \(x\) が含まれていないため、\(x\) の次数は 0 です。
   • \(-3x\): \(x\) は1乗、\(x^1\) です。
   • \(-5y\): \(x\) が含まれていないため、\(x\) の次数は 0 です。
   • \(-2\): \(x\) が含まれていないため、\(x\) の次数は 0 です。

2. \(x\) の次数ごとに項をまとめます:

   • \(x^2\) の項: \(2x^2\)
   • \(x^1\) の項: \(5xy - 3x\)
   • \(x^0\) の項 ( \(x\) に関する定数項): \(3y^2 - 5y - 2\)

3. \(x\) の次数について降順に並べます:
   最も高い \(x\) の次数、\(x^2\) から始め、次に \(x^1\)、最後に \(x^0\) が続きます。

   • まず、\(x^2\) の項: \(2x^2\)。
   • 次に、\(x^1\) の項: \(5xy - 3x\)。\(x\) を共通因数としてくくり出します: \((5y - 3)x\)。
   • 最後に、\(x^0\) の項: \(3y^2 - 5y - 2\)。

4. 最終的な多項式を記述します:
   \(2x^2 + (5y - 3)x + (3y^2 - 5y - 2)\)

解答 (2): \(2x^2 + (5y - 3)x + 3y^2 - 5y - 2\)