Решение алгебраических задач: упрощение выражений и вычисление значений

Задание 10

Найдите значение выражения \(x(x+16)-(x+8)(x-8)\) при \(x = -\frac{7}{8}\).

Решение:

1. Раскроем скобки:

   • \(x(x+16) = x^2 + 16x\)
   • \((x+8)(x-8)\) - это формула разности квадратов, которая равна \(x^2 - 8^2 = x^2 - 64\).

2. Подставим раскрытые скобки обратно в выражение:
   \((x^2 + 16x) - (x^2 - 64)\)

3. Раскроем вторую скобку, меняя знаки:
   \(x^2 + 16x - x^2 + 64\)

4. Приведем подобные слагаемые:
   \((x^2 - x^2) + 16x + 64 = 16x + 64\)

5. Теперь подставим значение \(x = -\frac{7}{8}\) в упрощенное выражение:
   \(16 \left(-\frac{7}{8}\right) + 64\)

6. Выполним умножение:
   \(16 \times \left(-\frac{7}{8}\right) = \frac{16}{1} \times \left(-\frac{7}{8}\right) = -\frac{16 \times 7}{8} = -2 \times 7 = -14\)

7. Сложим результат с 64:
   \(-14 + 64 = 50\)

Ответ: 50

Задание 11

Нужно изготовить каркасную модель четырёхугольной пирамиды заданного размера с построенным сечением (см. рисунок). Затратник — наименьшее количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и сваривать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы изготовить модель, показанную на рисунке?

Решение:

На рисунке изображена каркасная модель четырёхугольной пирамиды. Для изготовления такой модели нам необходимо соединить вершины каркаса проволокой.

1. Определим вершины модели:

   • Вершина пирамиды (верхняя точка).
   • Четыре вершины основания пирамиды.

2. Определим ребра модели:

   • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания (4 ребра).
   • Ребра основания, образующие четырёхугольник (4 ребра).

   Всего получается \(4 + 4 = 8\) ребер.

3. Рассмотрим, как можно изготовить модель из наименьшего количества кусков проволоки. Предполагается, что каждый кусок проволоки соответствует одному ребру модели. Важно, что проволоку можно гнуть и сваривать. Это означает, что мы можем использовать один длинный кусок проволоки для нескольких ребер, если они составляют непрерывную линию.

4. Посмотрим на рисунок:

   • Можно взять один кусок проволоки для всех четырех ребер основания (как единый четырёхугольник).
   • Затем, от каждой вершины основания нужно провести по одному куску проволоки к верхней вершине.

5. Подсчитаем количество кусков:

   • 1 кусок для основания.
   • 4 куска для боковых ребер.

   Итого: \(1 + 4 = 5\) кусков проволоки.

   Важно: Если бы мы не могли гнуть проволоку, то каждое ребро было бы отдельным куском, итого 8 кусков. Но условие "Проволоку можно гнуть под любым углом" позволяет нам рассматривать основание как один непрерывный кусок.

   Другой вариант: можно ли использовать меньше? Например, начать с верхней вершины и провести 4 луча к вершинам основания. Это 4 куска. А затем соединить вершины основания. Если мы соединяем их последовательно (от вершины к вершине), то нам понадобится еще 3 куска (для сторон основания). Итого 7 кусков. Это больше, чем 5.

   Если мы гнем основание в один кусок, то каждая вершина основания должна быть соединена с верхней вершиной. Это 4 куска. Итого 5.

Ответ: 5