Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Homi
Я понял, нужно решить систему линейных уравнений.
Задание 5
Система уравнений выглядит следующим образом:
\[\begin{cases}
x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 4 \\
x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 8 \\
2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 10x_4 = 20 \\
2x_1 - 4x_2 + x_3 - 6x_4 = 5
\end{cases}\]
Решим эту систему методом Гаусса. Сначала запишем расширенную матрицу системы:
\[\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \\
1 & 1 & 2 & 3 & | & 8 \\
2 & 4 & 5 & 10 & | & 20 \\
2 & -4 & 1 & -6 & | & 5
\end{bmatrix}\]
- Вычтем первую строку из второй, чтобы получить 0 в первом элементе второй строки: \(R_2 \rightarrow R_2 - R_1\)
\[\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \\
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \\
2 & 4 & 5 & 10 & | & 20 \\
2 & -4 & 1 & -6 & | & 5
\end{bmatrix}\]
- Вычтем первую строку, умноженную на 2, из третьей и четвертой строк: \(R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1\), \(R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1\)
\[\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \\
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \\
0 & 6 & 3 & 12 & | & 12 \\
0 & -2 & -1 & -4 & | & -3
\end{bmatrix}\]
- Заметим, что третья строка является кратной второй строке (в 3 раза). \(R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2\)
\[\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \\
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & -2 & -1 & -4 & | & -3
\end{bmatrix}\]
- Сложим вторую и четвертую строки: \(R_4 \rightarrow R_4 + R_2\)
\[\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \\
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 1
\end{bmatrix}\]
Последняя строка показывает, что \(0 = 1\), что является противоречием. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений.
Homi
Текст скопирован
Готово
Ошибка
