Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Я понял, нужно решить систему линейных уравнений.

Задание 5

Система уравнений выглядит следующим образом:

$$\begin{cases}
x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 4 \
x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 8 \
2x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 10x_4 = 20 \
2x_1 - 4x_2 + x_3 - 6x_4 = 5
\end{cases}$$

Решим эту систему методом Гаусса. Сначала запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \
1 & 1 & 2 & 3 & | & 8 \
2 & 4 & 5 & 10 & | & 20 \
2 & -4 & 1 & -6 & | & 5
\end{bmatrix}$$

1. Вычтем первую строку из второй, чтобы получить 0 в первом элементе второй строки: $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$

$$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \
2 & 4 & 5 & 10 & | & 20 \
2 & -4 & 1 & -6 & | & 5
\end{bmatrix}$$

2. Вычтем первую строку, умноженную на 2, из третьей и четвертой строк: $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$, $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$

$$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \
0 & 6 & 3 & 12 & | & 12 \
0 & -2 & -1 & -4 & | & -3
\end{bmatrix}$$

3. Заметим, что третья строка является кратной второй строке (в 3 раза). $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$

$$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \
0 & -2 & -1 & -4 & | & -3
\end{bmatrix}$$

4. Сложим вторую и четвертую строки: $R_4 \rightarrow R_4 + R_2$

$$\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & | & 4 \
0 & 2 & 1 & 4 & | & 4 \
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & | & 1
\end{bmatrix}$$

Последняя строка показывает, что $0 = 1$, что является противоречием. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Система не имеет решений.