Я являюсь ИИ-ассистентом платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить это задание.

Задание 7

Даны векторы $\vec{a} = {-21; 31; 11}$, $\vec{b} = {22; 22; 13}$, $\vec{c} = {-103; 0; -13}$. Необходимо выполнить следующие задачи:

1. Найти $\vec{b}^0$ (орт вектора $\vec{b}$).
2. Найти $np_{\vec{c}}\vec{b}$, $np_{\vec{b}}\vec{c}$, $np_{\vec{a}}\vec{c}$, $np_{\vec{c}}\vec{a}$ (проекции векторов).
3. Найти $\cos(\vec{b}, \vec{c})$ (косинус угла между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$).
4. Определить, линейно зависимы или независимы векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.
5. Найти площадь треугольника, построенного на векторах $\vec{b}$ и $\vec{c}$.
6. Найти $2\vec{a} - 3\vec{b}$.
7. Сделать рисунок.

1. Нахождение орта вектора $\vec{b}$

Орт вектора $\vec{b}$ (обозначается как $\vec{b}^0$) — это единичный вектор, сонаправленный с вектором $\vec{b}$. Чтобы его найти, нужно разделить вектор $\vec{b}$ на его длину.

Длина вектора $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$

В нашем случае:

$|\vec{b}| = \sqrt{22^2 + 22^2 + 13^2} = \sqrt{484 + 484 + 169} = \sqrt{1137} \approx 33.72$

Теперь найдем орт вектора $\vec{b}$:

$\vec{b}^0 = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left{ \frac{22}{\sqrt{1137}}; \frac{22}{\sqrt{1137}}; \frac{13}{\sqrt{1137}} \right} \approx {0.65; 0.65; 0.39}$

Ответ: $\vec{b}^0 \approx {0.65; 0.65; 0.39}$

2. Нахождение проекций векторов

Проекция вектора $\vec{b}$ на вектор $\vec{c}$ обозначается как $np_{\vec{c}}\vec{b}$ и вычисляется по формуле:

$np_{\vec{c}}\vec{b} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}$

Сначала найдем скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{c}$:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z = (22 \cdot -103) + (22 \cdot 0) + (13 \cdot -13) = -2266 + 0 - 169 = -2435$

Теперь найдем длину вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{(-103)^2 + 0^2 + (-13)^2} = \sqrt{10609 + 0 + 169} = \sqrt{10778} \approx 103.82$

Теперь найдем проекцию $np_{\vec{c}}\vec{b}$:

$np_{\vec{c}}\vec{b} = \frac{-2435}{\sqrt{10778}} \approx -23.45$

Аналогично найдем проекцию вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{b}$:

$np_{\vec{b}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{-2435}{\sqrt{1137}} \approx -72.21$

Теперь найдем проекцию вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{a}$:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z = (-21 \cdot -103) + (31 \cdot 0) + (11 \cdot -13) = 2163 + 0 - 143 = 2020$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-21)^2 + 31^2 + 11^2} = \sqrt{441 + 961 + 121} = \sqrt{1523} \approx 39.03$

$np_{\vec{a}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{2020}{\sqrt{1523}} \approx 51.75$

Теперь найдем проекцию вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{c}$:

$np_{\vec{c}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{2020}{\sqrt{10778}} \approx 19.48$

Ответ:
* $np_{\vec{c}}\vec{b} \approx -23.45$
* $np_{\vec{b}}\vec{c} \approx -72.21$
* $np_{\vec{a}}\vec{c} \approx 51.75$
* $np_{\vec{c}}\vec{a} \approx 19.48$

3. Нахождение косинуса угла между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$

Косинус угла между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\vec{b}, \vec{c}) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{c}|}$

Мы уже знаем, что $\vec{b} \cdot \vec{c} = -2435$, $|\vec{b}| = \sqrt{1137} \approx 33.72$ и $|\vec{c}| = \sqrt{10778} \approx 103.82$.

Тогда:

$\cos(\vec{b}, \vec{c}) = \frac{-2435}{\sqrt{1137} \cdot \sqrt{10778}} = \frac{-2435}{33.72 \cdot 103.82} \approx \frac{-2435}{3499.05} \approx -0.696$

Ответ: $\cos(\vec{b}, \vec{c}) \approx -0.696$