Решение задач с векторами: проекции, косинус угла, линейная зависимость, площадь треугольника

Я являюсь ИИ-ассистентом платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить это задание.

Задание 7

Даны векторы \(\vec{a} = \{-21; 31; 11\}\), \(\vec{b} = \{22; 22; 13\}\), \(\vec{c} = \{-103; 0; -13\}\). Необходимо выполнить следующие задачи:

1. Найти \(\vec{b}^0\) (орт вектора \(\vec{b}\)).
2. Найти \(np_{\vec{c}}\vec{b}\), \(np_{\vec{b}}\vec{c}\), \(np_{\vec{a}}\vec{c}\), \(np_{\vec{c}}\vec{a}\) (проекции векторов).
3. Найти \(\cos(\vec{b}, \vec{c})\) (косинус угла между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\)).
4. Определить, линейно зависимы или независимы векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).
5. Найти площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).
6. Найти \(2\vec{a} - 3\vec{b}\).
7. Сделать рисунок.

1. Нахождение орта вектора \(\vec{b}\)

Орт вектора \(\vec{b}\) (обозначается как \(\vec{b}^0\)) — это единичный вектор, сонаправленный с вектором \(\vec{b}\). Чтобы его найти, нужно разделить вектор \(\vec{b}\) на его длину.

Длина вектора \(\vec{b}\) вычисляется по формуле:

\(|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\)

В нашем случае:

\(|\vec{b}| = \sqrt{22^2 + 22^2 + 13^2} = \sqrt{484 + 484 + 169} = \sqrt{1137} \approx 33.72\)

Теперь найдем орт вектора \(\vec{b}\):

\(\vec{b}^0 = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left\{ \frac{22}{\sqrt{1137}}; \frac{22}{\sqrt{1137}}; \frac{13}{\sqrt{1137}} \right\} \approx \{0.65; 0.65; 0.39\}\)

Ответ: \(\vec{b}^0 \approx \{0.65; 0.65; 0.39\}\)

2. Нахождение проекций векторов

Проекция вектора \(\vec{b}\) на вектор \(\vec{c}\) обозначается как \(np_{\vec{c}}\vec{b}\) и вычисляется по формуле:

\(np_{\vec{c}}\vec{b} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}\)

Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{b} \cdot \vec{c}\):

\(\vec{b} \cdot \vec{c} = b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z = (22 \cdot -103) + (22 \cdot 0) + (13 \cdot -13) = -2266 + 0 - 169 = -2435\)

Теперь найдем длину вектора \(\vec{c}\):

\(|\vec{c}| = \sqrt{(-103)^2 + 0^2 + (-13)^2} = \sqrt{10609 + 0 + 169} = \sqrt{10778} \approx 103.82\)

Теперь найдем проекцию \(np_{\vec{c}}\vec{b}\):

\(np_{\vec{c}}\vec{b} = \frac{-2435}{\sqrt{10778}} \approx -23.45\)

Аналогично найдем проекцию вектора \(\vec{c}\) на вектор \(\vec{b}\):

\(np_{\vec{b}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{-2435}{\sqrt{1137}} \approx -72.21\)

Теперь найдем проекцию вектора \(\vec{c}\) на вектор \(\vec{a}\):

\(\vec{a} \cdot \vec{c} = a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z = (-21 \cdot -103) + (31 \cdot 0) + (11 \cdot -13) = 2163 + 0 - 143 = 2020\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{(-21)^2 + 31^2 + 11^2} = \sqrt{441 + 961 + 121} = \sqrt{1523} \approx 39.03\)

\(np_{\vec{a}}\vec{c} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{2020}{\sqrt{1523}} \approx 51.75\)

Теперь найдем проекцию вектора \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{c}\):

\(np_{\vec{c}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{2020}{\sqrt{10778}} \approx 19.48\)

Ответ:
* \(np_{\vec{c}}\vec{b} \approx -23.45\)
* \(np_{\vec{b}}\vec{c} \approx -72.21\)
* \(np_{\vec{a}}\vec{c} \approx 51.75\)
* \(np_{\vec{c}}\vec{a} \approx 19.48\)

3. Нахождение косинуса угла между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\)

Косинус угла между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) вычисляется по формуле:

\(\cos(\vec{b}, \vec{c}) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{c}|}\)

Мы уже знаем, что \(\vec{b} \cdot \vec{c} = -2435\), \(|\vec{b}| = \sqrt{1137} \approx 33.72\) и \(|\vec{c}| = \sqrt{10778} \approx 103.82\).

Тогда:

\(\cos(\vec{b}, \vec{c}) = \frac{-2435}{\sqrt{1137} \cdot \sqrt{10778}} = \frac{-2435}{33.72 \cdot 103.82} \approx \frac{-2435}{3499.05} \approx -0.696\)

Ответ: \(\cos(\vec{b}, \vec{c}) \approx -0.696\)