Решение алгебраических уравнений онлайн

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти уравнения по порядку.

Задание 2

Уравнение: \(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} = 10\)

1. Приведем к общему знаменателю: \(\frac{1 + 3x}{x^2} = 10\)
2. Умножим обе части на \(x^2\): \(1 + 3x = 10x^2\)
3. Перенесем все в одну сторону: \(10x^2 - 3x - 1 = 0\)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49\)
5. Найдем корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{20} = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{20} = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}\)

Ответ: \(x_1 = \frac{1}{2}\), \(x_2 = -\frac{1}{5}\)

Задание 4

Уравнение: \(\frac{1}{(x-3)^2} = \frac{3}{x-3} + 4\)

1. Замена переменной: пусть \(y = \frac{1}{x-3}\). Тогда уравнение примет вид: \(y^2 = 3y + 4\)
2. Перенесем все в одну сторону: \(y^2 - 3y - 4 = 0\)
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\)
4. Найдем корни: \(y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) и \(y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
5. Вернемся к исходной переменной:
   • \(\frac{1}{x-3} = 4 \Rightarrow 1 = 4(x-3) \Rightarrow 1 = 4x - 12 \Rightarrow 4x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{4}\)
   • \(\frac{1}{x-3} = -1 \Rightarrow 1 = -1(x-3) \Rightarrow 1 = -x + 3 \Rightarrow x = 2\)

Ответ: \(x_1 = \frac{13}{4}\), \(x_2 = 2\)

Задание 6

Уравнение: \((x+3)(x+1)(x-7) = (x+3)(x+1)(x-8)\)

1. Перенесем все в одну сторону: \((x+3)(x+1)(x-7) - (x+3)(x+1)(x-8) = 0\)
2. Вынесем общий множитель: \((x+3)(x+1)((x-7) - (x-8)) = 0\)
3. Упростим: \((x+3)(x+1)(x-7-x+8) = 0\)
4. \((x+3)(x+1)(1) = 0\)
5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   • \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
   • \(x+1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

Ответ: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\)