Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 1

a) Выполнить действия: $\left(\frac{2i}{3-i}\right)^2 + 4i + i^8$

1. Упростим выражение:

   • $i^8 = (i^2)^4 = (-1)^4 = 1$
   • $\left(\frac{2i}{3-i}\right)^2 = \frac{(2i)^2}{(3-i)^2} = \frac{4i^2}{9 - 6i + i^2} = \frac{-4}{9 - 6i - 1} = \frac{-4}{8 - 6i}$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{-4}{8 - 6i} = \frac{-4(8 + 6i)}{(8 - 6i)(8 + 6i)} = \frac{-32 - 24i}{64 + 36} = \frac{-32 - 24i}{100} = \frac{-8 - 6i}{25}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{-8 - 6i}{25} + 4i + 1 = \frac{-8 - 6i + 100i + 25}{25} = \frac{17 + 94i}{25}$

Ответ: $\frac{17}{25} + \frac{94}{25}i$

Задание 2

a) Выполнить действия: $\frac{5-i}{3i} + (2i)^4 - \left(\frac{1}{2i}\right)^3$

1. Упростим выражение:

   • $(2i)^4 = 2^4 \cdot i^4 = 16 \cdot 1 = 16$
   • $\left(\frac{1}{2i}\right)^3 = \frac{1^3}{(2i)^3} = \frac{1}{8i^3} = \frac{1}{8(-i)} = \frac{1}{-8i}$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{5-i}{3i} = \frac{(5-i)(-3i)}{3i(-3i)} = \frac{-15i + 3i^2}{-9i^2} = \frac{-15i - 3}{9} = \frac{-5i - 1}{3}$
   • $\frac{1}{-8i} = \frac{1 \cdot i}{-8i \cdot i} = \frac{i}{-8(-1)} = \frac{i}{8}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{-1 - 5i}{3} + 16 - \left(\frac{i}{8}\right) = \frac{-1 - 5i}{3} + 16 - \frac{i}{8} = \frac{-1 - 5i}{3} + \frac{48}{3} - \frac{i}{8} = \frac{47 - 5i}{3} - \frac{i}{8}$

4. Приведем к общему знаменателю:

   • $\frac{47 - 5i}{3} - \frac{i}{8} = \frac{8(47 - 5i) - 3i}{24} = \frac{376 - 40i - 3i}{24} = \frac{376 - 43i}{24}$

Ответ: $\frac{376}{24} - \frac{43}{24}i = \frac{47}{3} - \frac{43}{24}i$

Задание 3

a) Выполнить действия: $\left(\frac{2i}{i-3}\right)^2 - 3i + i^2$

1. Упростим выражение:

   • $i^2 = -1$
   • $\left(\frac{2i}{i-3}\right)^2 = \frac{(2i)^2}{(i-3)^2} = \frac{4i^2}{i^2 - 6i + 9} = \frac{-4}{-1 - 6i + 9} = \frac{-4}{8 - 6i}$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{-4}{8 - 6i} = \frac{-4(8 + 6i)}{(8 - 6i)(8 + 6i)} = \frac{-32 - 24i}{64 + 36} = \frac{-32 - 24i}{100} = \frac{-8 - 6i}{25}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{-8 - 6i}{25} - 3i - 1 = \frac{-8 - 6i - 75i - 25}{25} = \frac{-33 - 81i}{25}$

Ответ: $-\frac{33}{25} - \frac{81}{25}i$

Ассистент: Конечно! Сейчас я подробно объясню решение первого задания.

Задание 1

a) Выполнить действия: $\left(\frac{2i}{3-i}\right)^2 + 4i + i^8$

1. Упростим выражение:

   • $i^8 = (i^2)^4 = (-1)^4 = 1$
     • Здесь мы использовали свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
     • Также мы знаем, что $i^2 = -1$.
     • Поэтому $i^8$ можно представить как $(-1)^4$, что равно 1.
   • $\left(\frac{2i}{3-i}\right)^2 = \frac{(2i)^2}{(3-i)^2} = \frac{4i^2}{9 - 6i + i^2} = \frac{-4}{9 - 6i - 1} = \frac{-4}{8 - 6i}$
     • Сначала возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби.
     • $(2i)^2 = 4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$
     • $(3-i)^2 = (3-i)(3-i) = 9 - 3i - 3i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{-4}{8 - 6i} = \frac{-4(8 + 6i)}{(8 - 6i)(8 + 6i)} = \frac{-32 - 24i}{64 + 36} = \frac{-32 - 24i}{100} = \frac{-8 - 6i}{25}$
     • Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателя.
     • Комплексно сопряжённое к $8 - 6i$ это $8 + 6i$.
     • $(8 - 6i)(8 + 6i) = 8^2 - (6i)^2 = 64 - 36i^2 = 64 - 36(-1) = 64 + 36 = 100$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{-8 - 6i}{25} + 4i + 1 = \frac{-8 - 6i + 100i + 25}{25} = \frac{17 + 94i}{25}$
     • Приводим все слагаемые к общему знаменателю (25).
     • Складываем действительные и мнимые части.

Ответ: $\frac{17}{25} + \frac{94}{25}i$

Ассистент: Отлично, продолжаем решать задачи по порядку.

Задание 4

a) Выполнить действия: $i^5 + (5-2i)^2 + \frac{2}{2i+1}$

1. Упростим выражение:

   • $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$
   • $(5-2i)^2 = (5-2i)(5-2i) = 25 - 10i - 10i + 4i^2 = 25 - 20i - 4 = 21 - 20i$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{2}{2i+1} = \frac{2(2i-1)}{(2i+1)(2i-1)} = \frac{4i-2}{4i^2 - 1} = \frac{4i-2}{-4 - 1} = \frac{4i-2}{-5} = \frac{2-4i}{5}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $i + (21 - 20i) + \frac{2-4i}{5} = i + 21 - 20i + \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i = 21 + \frac{2}{5} + i - 20i - \frac{4}{5}i = \frac{105+2}{5} + \frac{5i - 100i - 4i}{5} = \frac{107}{5} - \frac{99}{5}i$

Ответ: $\frac{107}{5} - \frac{99}{5}i$

Задание 5

a) Выполнить действия: $\frac{(i+1)^3}{3} - (+i^2)^9 + \frac{1}{i+2}$

1. Упростим выражение:

   • $(i+1)^3 = (i+1)^2(i+1) = (i^2 + 2i + 1)(i+1) = (-1 + 2i + 1)(i+1) = 2i(i+1) = 2i^2 + 2i = -2 + 2i$
   • $(+i^2)^9 = (-1)^9 = -1$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{1}{i+2} = \frac{1(i-2)}{(i+2)(i-2)} = \frac{i-2}{i^2 - 4} = \frac{i-2}{-1 - 4} = \frac{i-2}{-5} = \frac{2-i}{5}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{-2 + 2i}{3} - (-1) + \frac{2-i}{5} = \frac{-2 + 2i}{3} + 1 + \frac{2-i}{5} = \frac{-2 + 2i}{3} + \frac{3}{3} + \frac{2-i}{5} = \frac{1 + 2i}{3} + \frac{2-i}{5}$

4. Приведем к общему знаменателю:

   • $\frac{5(1 + 2i) + 3(2-i)}{15} = \frac{5 + 10i + 6 - 3i}{15} = \frac{11 + 7i}{15}$

Ответ: $\frac{11}{15} + \frac{7}{15}i$

Задание 6

a) Выполнить действия: $\frac{1}{2+i} + (2i)^2 + \frac{3i}{1-i}$

1. Упростим выражение:

   • $(2i)^2 = 4i^2 = -4$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{1}{2+i} = \frac{1(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{4 + 1} = \frac{2-i}{5}$
   • $\frac{3i}{1-i} = \frac{3i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{3i + 3i^2}{1 - i^2} = \frac{3i - 3}{1 + 1} = \frac{-3 + 3i}{2}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{2-i}{5} - 4 + \frac{-3 + 3i}{2} = \frac{2-i}{5} - \frac{20}{5} + \frac{-3 + 3i}{2} = \frac{-18 - i}{5} + \frac{-3 + 3i}{2}$

4. Приведем к общему знаменателю:

   • $\frac{2(-18 - i) + 5(-3 + 3i)}{10} = \frac{-36 - 2i - 15 + 15i}{10} = \frac{-51 + 13i}{10}$

Ответ: $-\frac{51}{10} + \frac{13}{10}i$

Ассистент: Продолжаем решать задачи.

Задание 7

a) Выполнить действия: $\frac{i}{1+i} + \left(\frac{2}{i} - 1\right)^3 + 5i$

1. Упростим выражение:

   • $\frac{i}{1+i} = \frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{i - i^2}{1 - i^2} = \frac{i + 1}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2}$
   • $\frac{2}{i} = \frac{2(-i)}{i(-i)} = \frac{-2i}{-i^2} = \frac{-2i}{1} = -2i$
   • $\left(\frac{2}{i} - 1\right)^3 = (-2i - 1)^3 = (-1 - 2i)^3 = -(1 + 2i)^3 = -(1 + 6i + 12i^2 + 8i^3) = -(1 + 6i - 12 - 8i) = -(-11 - 2i) = 11 + 2i$

2. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{1 + i}{2} + 11 + 2i + 5i = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i + 11 + 7i = \frac{1}{2} + \frac{22}{2} + \frac{1}{2}i + \frac{14}{2}i = \frac{23}{2} + \frac{15}{2}i$

Ответ: $\frac{23}{2} + \frac{15}{2}i$

Задание 8

a) Выполнить действия: $\left(\frac{1+i}{i}\right)^2 + \frac{1}{i+4} + \frac{i-1}{1-i}$

1. Упростим выражение:

   • $\frac{1+i}{i} = \frac{(1+i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-i - i^2}{-i^2} = \frac{-i + 1}{1} = 1 - i$
   • $\left(\frac{1+i}{i}\right)^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$
   • $\frac{i-1}{1-i} = -1$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{1}{i+4} = \frac{1(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{4-i}{16 - i^2} = \frac{4-i}{16 + 1} = \frac{4-i}{17}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $-2i + \frac{4-i}{17} - 1 = -1 + \frac{4}{17} - \frac{1}{17}i - 2i = \frac{-17 + 4}{17} + \frac{-i - 34i}{17} = -\frac{13}{17} - \frac{35}{17}i$

Ответ: $-\frac{13}{17} - \frac{35}{17}i$

Задание 9

a) Выполнить действия: $\frac{3}{2-i} + \frac{2i}{5} - \frac{i}{1+3i}$

1. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{3}{2-i} = \frac{3(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i}{4 - i^2} = \frac{6+3i}{4 + 1} = \frac{6+3i}{5}$
   • $\frac{i}{1+3i} = \frac{i(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{i - 3i^2}{1 - 9i^2} = \frac{i + 3}{1 + 9} = \frac{3+i}{10}$

2. Подставим обратно в выражение:

   • $\frac{6+3i}{5} + \frac{2i}{5} - \frac{3+i}{10} = \frac{12+6i}{10} + \frac{4i}{10} - \frac{3+i}{10} = \frac{12+6i+4i-3-i}{10} = \frac{9+9i}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10} + \frac{9}{10}i$

Ассистент: Продолжаем решать задачи.

Задание 10

a) Выполнить действия: $\frac{5i-4}{i^4} + \left(\frac{2}{3+2i}\right)^2 + \frac{2}{i^5}$

1. Упростим выражение:

   • $i^4 = 1$
   • $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$
   • $\frac{5i-4}{i^4} = \frac{5i-4}{1} = 5i - 4$
   • $\frac{2}{i^5} = \frac{2}{i} = \frac{2(-i)}{i(-i)} = \frac{-2i}{-i^2} = \frac{-2i}{1} = -2i$

2. Избавимся от мнимости в знаменателе:

   • $\frac{2}{3+2i} = \frac{2(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{6-4i}{9 - 4i^2} = \frac{6-4i}{9 + 4} = \frac{6-4i}{13}$
   • $\left(\frac{2}{3+2i}\right)^2 = \left(\frac{6-4i}{13}\right)^2 = \frac{(6-4i)^2}{13^2} = \frac{36 - 48i + 16i^2}{169} = \frac{36 - 48i - 16}{169} = \frac{20 - 48i}{169}$

3. Подставим обратно в выражение:

   • $5i - 4 + \frac{20 - 48i}{169} - 2i = -4 + \frac{20}{169} + 5i - \frac{48}{169}i - 2i = \frac{-676 + 20}{169} + \frac{845i - 48i - 338i}{169} = \frac{-656}{169} + \frac{459}{169}i$

Ответ: $-\frac{656}{169} + \frac{459}{169}i$

Теперь решим задачи на нахождение корней уравнений.

Задание 1 (б)

Найти корни уравнения: $z^3 = \sqrt{3} - i$

1. Представим число в тригонометрической форме:

   • $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$
   • $\phi = \arctan\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$ (так как число лежит в IV квадранте)
   • $\sqrt{3} - i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$

2. Найдем корни уравнения:

   • $z_k = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2$

3. Вычислим корни:

   • $z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{18}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)\right)$
   • $z_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi}{3}\right)\right) = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{18}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\right)$
   • $z_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{-\frac{\pi}{6} + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{-\frac{\pi}{6} + 4\pi}{3}\right)\right) = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{23\pi}{18}\right) + i\sin\left(\frac{23\pi}{18}\right)\right)$

Ответ:
* $z_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{18}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)\right)$
* $z_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{18}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{18}\right)\right)$
* $z_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\left(\frac{23\pi}{18}\right) + i\sin\left(\frac{23\pi}{18}\right)\right)$

Задание 2 (б)

Найти корни уравнения: $z^3 = \frac{1+i}{1-i}$

1. Упростим выражение:

   • $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$

2. Представим число в тригонометрической форме:

   • $i = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

3. Найдем корни уравнения:

   • $z_k = \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2$

4. Вычислим корни:

   • $z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
   • $z_1 = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
   • $z_2 = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$

Ответ:
* $z_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
* $z_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
* $z_2 = -i$

Ассистент: Конечно! Сейчас я подробно объясню решение второго задания (б).

Задание 2 (б)

Найти корни уравнения: $z^3 = \frac{1+i}{1-i}$

1. Упростим выражение:

   • $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$
     • Чтобы упростить дробь, умножаем числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателя.
     • Комплексно сопряжённое к $1-i$ это $1+i$.
     • $(1+i)(1+i) = 1 + i + i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$
     • $(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2$
     • $\frac{2i}{2} = i$

2. Представим число в тригонометрической форме:

   • $i = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
     • Комплексное число $i$ имеет модуль 1 и аргумент $\frac{\pi}{2}$.
     • В тригонометрической форме это записывается как $r(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$, где $r$ - модуль, $\phi$ - аргумент.

3. Найдем корни уравнения:

   • $z_k = \sqrt[3]{1}\left(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2$
     • Используем формулу для нахождения корней комплексного числа:
     • $z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right)\right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$
     • В нашем случае $n = 3$, $r = 1$, $\phi = \frac{\pi}{2}$.

4. Вычислим корни:

   • $z_0 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
     • При $k = 0$: $\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{6}$
     • $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
   • $z_1 = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
     • При $k = 1$: $\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1}{3} = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2}}{3} = \frac{\frac{5\pi}{2}}{3} = \frac{5\pi}{6}$
     • $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$
   • $z_2 = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -i$
     • При $k = 2$: $\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2}{3} = \frac{\frac{\pi}{2} + \frac{8\pi}{2}}{3} = \frac{\frac{9\pi}{2}}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$
     • $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$, $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$

Ответ:
* $z_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
* $z_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
* $z_2 = -i$

Ассистент: Ассистент: Продолжаем решать задачи.

Задание 3 (б)

Найти корни уравнения: $z^4 = -16$

1. Представим число в тригонометрической форме:

   • $-16 = 16(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$

2. Найдем корни уравнения:

   • $z_k = \sqrt[4]{16}\left(\cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{4}\right)\right)$, где $k = 0, 1, 2, 3$

3. Вычислим корни:

   • $z_0 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
   • $z_1 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$
   • $z_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$
   • $z_3 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi + 6\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 6\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$

Ответ:
* $z_0 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
* $z_1 = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$
* $z_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$
* $z_3 = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$

Задание 4 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 = 5-12i$

1. Представим число в алгебраической форме:

   • Пусть $z = a + bi$, тогда $(a + bi)^2 = 5 - 12i$
   • $a^2 + 2abi - b^2 = 5 - 12i$
   • $a^2 - b^2 = 5$ и $2ab = -12$, следовательно $ab = -6$

2. Решим систему уравнений:

   • $b = -\frac{6}{a}$
   • $a^2 - \left(-\frac{6}{a}\right)^2 = 5$
   • $a^2 - \frac{36}{a^2} = 5$
   • $a^4 - 36 = 5a^2$
   • $a^4 - 5a^2 - 36 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 - 5t - 36 = 0$
   • $D = (-5)^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169$
   • $t_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9$
   • $t_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = 9$, следовательно $a = 3$ или $a = -3$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = 3$, то $b = -\frac{6}{3} = -2$
   • Если $a = -3$, то $b = -\frac{6}{-3} = 2$

Ответ:
* $z_1 = 3 - 2i$
* $z_2 = -3 + 2i$

Ассистент: Ассистент: Продолжаем решать задачи.

Задание 5 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 + 2z + (1-i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(1-i)}}{2(1)}$
   • $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4i}}{2}$
   • $z = \frac{-2 \pm \sqrt{4i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{4i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = 4i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = 4i$
   • $a^2 - b^2 = 0$ и $2ab = 4$, следовательно $ab = 2$
   • $a^2 = b^2$, значит $a = b$ или $a = -b$
   • Если $a = b$, то $a^2 = 2$, следовательно $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$
   • Если $a = -b$, то $-a^2 = 2$, что невозможно, так как $a$ - действительное число
   • $\sqrt{4i} = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$

3. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{-2 \pm (\sqrt{2} + i\sqrt{2})}{2}$
   • $z_1 = \frac{-2 + \sqrt{2} + i\sqrt{2}}{2} = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$
   • $z_2 = \frac{-2 - \sqrt{2} - i\sqrt{2}}{2} = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:
* $z_1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$
* $z_2 = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Задание 6 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 - (5+i)z + (8+i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{(5+i) \pm \sqrt{(5+i)^2 - 4(1)(8+i)}}{2(1)}$
   • $z = \frac{(5+i) \pm \sqrt{25 + 10i - 1 - 32 - 4i}}{2}$
   • $z = \frac{(5+i) \pm \sqrt{-8 + 6i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{-8 + 6i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = -8 + 6i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = -8 + 6i$
   • $a^2 - b^2 = -8$ и $2ab = 6$, следовательно $ab = 3$
   • $b = \frac{3}{a}$
   • $a^2 - \left(\frac{3}{a}\right)^2 = -8$
   • $a^2 - \frac{9}{a^2} = -8$
   • $a^4 - 9 = -8a^2$
   • $a^4 + 8a^2 - 9 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 + 8t - 9 = 0$
   • $D = 8^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100$
   • $t_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$
   • $t_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = 1$, следовательно $a = 1$ или $a = -1$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = 1$, то $b = \frac{3}{1} = 3$
   • Если $a = -1$, то $b = \frac{3}{-1} = -3$
   • $\sqrt{-8 + 6i} = 1 + 3i$ или $-1 - 3i$

4. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{(5+i) \pm (1 + 3i)}{2}$
   • $z_1 = \frac{5+i + 1 + 3i}{2} = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i$
   • $z_2 = \frac{5+i - 1 - 3i}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i$

Ответ:
* $z_1 = 3 + 2i$
* $z_2 = 2 - i$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Продолжаем решать задачи.

Задание 7 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 - iz + (2-i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{i \pm \sqrt{(-i)^2 - 4(1)(2-i)}}{2(1)}$
   • $z = \frac{i \pm \sqrt{-1 - 8 + 4i}}{2}$
   • $z = \frac{i \pm \sqrt{-9 + 4i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{-9 + 4i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = -9 + 4i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = -9 + 4i$
   • $a^2 - b^2 = -9$ и $2ab = 4$, следовательно $ab = 2$
   • $b = \frac{2}{a}$
   • $a^2 - \left(\frac{2}{a}\right)^2 = -9$
   • $a^2 - \frac{4}{a^2} = -9$
   • $a^4 - 4 = -9a^2$
   • $a^4 + 9a^2 - 4 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 + 9t - 4 = 0$
   • $D = 9^2 - 4(1)(-4) = 81 + 16 = 97$
   • $t_1 = \frac{-9 + \sqrt{97}}{2}$
   • $t_2 = \frac{-9 - \sqrt{97}}{2}$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = \frac{-9 + \sqrt{97}}{2}$, следовательно $a = \pm\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}}$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = \sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}}$, то $b = \frac{2}{\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}}} = 2\sqrt{\frac{2}{-9 + \sqrt{97}}} = \sqrt{\frac{8}{-9 + \sqrt{97}}} = \sqrt{\frac{8(\sqrt{97}+9)}{(\sqrt{97}-9)(\sqrt{97}+9)}} = \sqrt{\frac{8(\sqrt{97}+9)}{97-81}} = \sqrt{\frac{8(\sqrt{97}+9)}{16}} = \sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}$
   • Если $a = -\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}}$, то $b = -\sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}$
   • $\sqrt{-9 + 4i} = \sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}$ или $-\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}$

4. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{i \pm \left(\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}\right)}{2}$
   • $z_1 = \frac{i + \sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}}{2} = \frac{\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} + i\left(1 + \sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}\right)}{2}$
   • $z_2 = \frac{i - \sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}}{2} = \frac{-\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}} + i\left(1 - \sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}\right)}{2}$

Ответ:
* $z_1 = \frac{\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}}}{2} + i\frac{\left(1 + \sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}\right)}{2}$
* $z_2 = -\frac{\sqrt{\frac{-9 + \sqrt{97}}{2}}}{2} + i\frac{\left(1 - \sqrt{\frac{\sqrt{97}+9}{2}}\right)}{2}$

Задание 8 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 + (2i-3)z + (5-i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{-(2i-3) \pm \sqrt{(2i-3)^2 - 4(1)(5-i)}}{2(1)}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{-4 - 12i + 9 - 20 + 4i}}{2}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{-15 - 8i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{-15 - 8i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = -15 - 8i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = -15 - 8i$
   • $a^2 - b^2 = -15$ и $2ab = -8$, следовательно $ab = -4$
   • $b = -\frac{4}{a}$
   • $a^2 - \left(-\frac{4}{a}\right)^2 = -15$
   • $a^2 - \frac{16}{a^2} = -15$
   • $a^4 - 16 = -15a^2$
   • $a^4 + 15a^2 - 16 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 + 15t - 16 = 0$
   • $D = 15^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289$
   • $t_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 + 17}{2} = 1$
   • $t_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 - 17}{2} = -16$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = 1$, следовательно $a = 1$ или $a = -1$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = 1$, то $b = -\frac{4}{1} = -4$
   • Если $a = -1$, то $b = -\frac{4}{-1} = 4$
   • $\sqrt{-15 - 8i} = 1 - 4i$ или $-1 + 4i$

4. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{(3-2i) \pm (1 - 4i)}{2}$
   • $z_1 = \frac{3-2i + 1 - 4i}{2} = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$
   • $z_2 = \frac{3-2i - 1 + 4i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$

Ответ:
* $z_1 = 2 - 3i$
* $z_2 = 1 + i$

Задание 8 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 + (2i-3)z + (5-i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{-(2i-3) \pm \sqrt{(2i-3)^2 - 4(1)(5-i)}}{2(1)}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{-4 - 12i + 9 - 20 + 4i}}{2}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{-15 - 8i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{-15 - 8i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = -15 - 8i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = -15 - 8i$
   • $a^2 - b^2 = -15$ и $2ab = -8$, следовательно $ab = -4$
   • $b = -\frac{4}{a}$
   • $a^2 - \left(-\frac{4}{a}\right)^2 = -15$
   • $a^2 - \frac{16}{a^2} = -15$
   • $a^4 - 16 = -15a^2$
   • $a^4 + 15a^2 - 16 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 + 15t - 16 = 0$
   • $D = 15^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289$
   • $t_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 + 17}{2} = 1$
   • $t_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 - 17}{2} = -16$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = 1$, следовательно $a = 1$ или $a = -1$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = 1$, то $b = -\frac{4}{1} = -4$
   • Если $a = -1$, то $b = -\frac{4}{-1} = 4$
   • $\sqrt{-15 - 8i} = 1 - 4i$ или $-1 + 4i$

4. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{(3-2i) \pm (1 - 4i)}{2}$
   • $z_1 = \frac{3-2i + 1 - 4i}{2} = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i$
   • $z_2 = \frac{3-2i - 1 + 4i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$

Ответ:
* $z_1 = 2 - 3i$
* $z_2 = 1 + i$

Задание 9 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 + (1+2i)z - (1+i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{-(1+2i) \pm \sqrt{(1+2i)^2 - 4(1)(-(1+i))}}{2(1)}$
   • $z = \frac{(-1-2i) \pm \sqrt{1 + 4i - 4 + 4 + 4i}}{2}$
   • $z = \frac{(-1-2i) \pm \sqrt{1 + 8i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{1 + 8i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = 1 + 8i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = 1 + 8i$
   • $a^2 - b^2 = 1$ и $2ab = 8$, следовательно $ab = 4$
   • $b = \frac{4}{a}$
   • $a^2 - \left(\frac{4}{a}\right)^2 = 1$
   • $a^2 - \frac{16}{a^2} = 1$
   • $a^4 - 16 = a^2$
   • $a^4 - a^2 - 16 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 - t - 16 = 0$
   • $D = (-1)^2 - 4(1)(-16) = 1 + 64 = 65$
   • $t_1 = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$
   • $t_2 = \frac{1 - \sqrt{65}}{2}$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}$, следовательно $a = \pm\sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}}$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}}$, то $b = \frac{4}{\sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}}} = 4\sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{65}}} = \sqrt{\frac{32}{1 + \sqrt{65}}} = \sqrt{\frac{32(\sqrt{65}-1)}{(\sqrt{65}+1)(\sqrt{65}-1)}} = \sqrt{\frac{32(\sqrt{65}-1)}{65-1}} = \sqrt{\frac{32(\sqrt{65}-1)}{64}} = \sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}$
   • Если $a = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}}$, то $b = -\sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}$
   • $\sqrt{1 + 8i} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}$ или $-\sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}$

4. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{(-1-2i) \pm \left(\sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}\right)}{2}$
   • $z_1 = \frac{-1-2i + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} + i\left(-2 + \sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}\right)}{2}$
   • $z_2 = \frac{-1-2i - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}}{2} = \frac{-1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}} + i\left(-2 - \sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}\right)}{2}$

Ответ:
* $z_1 = \frac{-1 + \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}}}{2} + i\frac{\left(-2 + \sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}\right)}{2}$
* $z_2 = \frac{-1 - \sqrt{\frac{1 + \sqrt{65}}{2}}}{2} + i\frac{\left(-2 - \sqrt{\frac{\sqrt{65}-1}{2}}\right)}{2}$

Задание 10 (б)

Найти корни уравнения: $z^2 - (3-2i)z + (5-5i) = 0$

1. Решим квадратное уравнение:

   • $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{(3-2i)^2 - 4(1)(5-5i)}}{2(1)}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{9 - 12i - 4 - 20 + 20i}}{2}$
   • $z = \frac{(3-2i) \pm \sqrt{-15 + 8i}}{2}$

2. Найдем корень из комплексного числа:

   • $\sqrt{-15 + 8i} = w = a + bi$
   • $(a + bi)^2 = -15 + 8i$
   • $a^2 - b^2 + 2abi = -15 + 8i$
   • $a^2 - b^2 = -15$ и $2ab = 8$, следовательно $ab = 4$
   • $b = \frac{4}{a}$
   • $a^2 - \left(\frac{4}{a}\right)^2 = -15$
   • $a^2 - \frac{16}{a^2} = -15$
   • $a^4 - 16 = -15a^2$
   • $a^4 + 15a^2 - 16 = 0$
   • Пусть $t = a^2$, тогда $t^2 + 15t - 16 = 0$
   • $D = 15^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289$
   • $t_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 + 17}{2} = 1$
   • $t_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 - 17}{2} = -16$ (не подходит, так как $a^2$ не может быть отрицательным)
   • $a^2 = 1$, следовательно $a = 1$ или $a = -1$

3. Найдем значения b:

   • Если $a = 1$, то $b = \frac{4}{1} = 4$
   • Если $a = -1$, то $b = \frac{4}{-1} = -4$
   • $\sqrt{-15 + 8i} = 1 + 4i$ или $-1 - 4i$

4. Подставим обратно в уравнение:

   • $z = \frac{(3-2i) \pm (1 + 4i)}{2}$
   • $z_1 = \frac{3-2i + 1 + 4i}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i$
   • $z_2 = \frac{3-2i - 1 - 4i}{2} = \frac{2 - 6i}{2} = 1 - 3i$

Ответ:
* $z_1 = 2 + i$
* $z_2 = 1 - 3i$

Все задания решены! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.