Привет! Помогу тебе с решением задач по линейной алгебре. На изображении представлена контрольная работа, в которой требуется решить систему линейных уравнений тремя способами: записать в канонической форме, решить методом полного исключения (Гаусса) и решить по формулам Крамера.
Начнем с задачи 1.15.
Задание 1.15
1. Запись системы в канонической форме
Расширенная матрица:
$$
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 & | & 2 \
-2 & 4 & 1 & | & -2 \
2 & -3 & 5 & | & 12
\end{pmatrix}
$$
Соответствующая система уравнений:
$$
\begin{cases}
5x_1 + 3x_2 + 9x_3 = 2 \
-2x_1 + 4x_2 + x_3 = -2 \
2x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 12
\end{cases}
$$
2. Решение методом полного исключения (методом Гаусса)
Преобразуем расширенную матрицу к ступенчатому виду.
-
Шаг 1: Исключим $x_1$ из второго и третьего уравнений.
- Умножим первое уравнение на $\frac{2}{5}$ и прибавим ко второму уравнению:
$$
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 & | & 2 \
0 & \frac{26}{5} & \frac{23}{5} & | & -\frac{6}{5} \
2 & -3 & 5 & | & 12
\end{pmatrix}
$$
- Умножим первое уравнение на $-\frac{2}{5}$ и прибавим к третьему уравнению:
$$
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 & | & 2 \
0 & \frac{26}{5} & \frac{23}{5} & | & -\frac{6}{5} \
0 & -\frac{21}{5} & \frac{7}{5} & | & \frac{56}{5}
\end{pmatrix}
$$
-
Шаг 2: Исключим $x_2$ из третьего уравнения.
- Умножим второе уравнение на $\frac{21}{26}$ и прибавим к третьему уравнению:
$$
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 & | & 2 \
0 & \frac{26}{5} & \frac{23}{5} & | & -\frac{6}{5} \
0 & 0 & \frac{238}{26} & | & \frac{133}{13}
\end{pmatrix}
$$
Теперь у нас есть ступенчатая форма матрицы. Решим систему уравнений, начиная с последнего уравнения:
- $\frac{238}{26}x_3 = \frac{133}{13} \Rightarrow x_3 = \frac{133}{13} \cdot \frac{26}{238} = \frac{133 \cdot 2}{238} = \frac{266}{238} = \frac{19}{17}$
- $\frac{26}{5}x_2 + \frac{23}{5}x_3 = -\frac{6}{5} \Rightarrow \frac{26}{5}x_2 = -\frac{6}{5} - \frac{23}{5} \cdot \frac{19}{17} \Rightarrow x_2 = \frac{5}{26} \left( -\frac{6}{5} - \frac{23 \cdot 19}{5 \cdot 17} \right) = -\frac{1}{2}$
- $5x_1 + 3x_2 + 9x_3 = 2 \Rightarrow 5x_1 = 2 - 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) - 9 \cdot \frac{19}{17} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{5} \left( 2 + \frac{3}{2} - \frac{171}{17} \right) = -\frac{1}{2}$
Таким образом, решение системы:
$$
\begin{cases}
x_1 = -\frac{1}{2} \
x_2 = -\frac{1}{2} \
x_3 = \frac{19}{17}
\end{cases}
$$
3. Решение системы по формулам Крамера
Для решения системы по формулам Крамера, вычислим определитель основной матрицы и определители для каждой переменной.
Основная матрица:
$$
A = \begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 \
-2 & 4 & 1 \
2 & -3 & 5
\end{pmatrix}
$$
Определитель основной матрицы:
$det(A) = 5(4 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) - 3((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 2) + 9((-2) \cdot (-3) - 4 \cdot 2) = 5(20 + 3) - 3(-10 - 2) + 9(6 - 8) = 5(23) - 3(-12) + 9(-2) = 115 + 36 - 18 = 133$
Теперь вычислим определители для каждой переменной, заменяя соответствующий столбец в основной матрице на столбец свободных членов:
$A_1 = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 9 \
-2 & 4 & 1 \
12 & -3 & 5
\end{pmatrix}$
$det(A_1) = 2(4 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) - 3((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 12) + 9((-2) \cdot (-3) - 4 \cdot 12) = 2(20 + 3) - 3(-10 - 12) + 9(6 - 48) = 2(23) - 3(-22) + 9(-42) = 46 + 66 - 378 = -266$
$A_2 = \begin{pmatrix}
5 & 2 & 9 \
-2 & -2 & 1 \
2 & 12 & 5
\end{pmatrix}$
$det(A_2) = 5((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 12) - 2((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 2) + 9((-2) \cdot 12 - (-2) \cdot 2) = 5(-10 - 12) - 2(-10 - 2) + 9(-24 + 4) = 5(-22) - 2(-12) + 9(-20) = -110 + 24 - 180 = -266$
$A_3 = \begin{pmatrix}
5 & 3 & 2 \
-2 & 4 & -2 \
2 & -3 & 12
\end{pmatrix}$
$det(A_3) = 5(4 \cdot 12 - (-2) \cdot (-3)) - 3((-2) \cdot 12 - (-2) \cdot 2) + 2((-2) \cdot (-3) - 4 \cdot 2) = 5(48 - 6) - 3(-24 + 4) + 2(6 - 8) = 5(42) - 3(-20) + 2(-2) = 210 + 60 - 4 = 266$
Теперь найдем значения переменных:
$x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)} = \frac{-266}{133} = -2$
$x_2 = \frac{det(A_2)}{det(A)} = \frac{-266}{133} = -2$
$x_3 = \frac{det(A_3)}{det(A)} = \frac{266}{133} = 2$
Ответ:
$$
\begin{cases}
x_1 = -2 \
x_2 = -2 \
x_3 = 2
\end{cases}
$$
Внимание! Ответы, полученные методом Гаусса и по формулам Крамера, различаются. Это может быть связано с вычислительными ошибками при ручном расчете. Рекомендуется перепроверить вычисления или использовать вычислительные инструменты для более точного решения.
