Привет! Помогу тебе с решением задач по линейной алгебре. На изображении представлена контрольная работа, в которой требуется решить систему линейных уравнений тремя способами: записать в канонической форме, решить методом полного исключения (Гаусса) и решить по формулам Крамера.

Начнем с задачи 1.15.

Задание 1.15

1. Запись системы в канонической форме

Расширенная матрица:
$$
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 & | & 2 \
-2 & 4 & 1 & | & -2 \
2 & -3 & 5 & | & 12
\end{pmatrix}
$$

Соответствующая система уравнений:
$$
\begin{cases}
5x_1 + 3x_2 + 9x_3 = 2 \
-2x_1 + 4x_2 + x_3 = -2 \
2x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 12
\end{cases}
$$

2. Решение методом полного исключения (методом Гаусса)

Преобразуем расширенную матрицу к ступенчатому виду.

1. Шаг 1: Исключим $x_1$ из второго и третьего уравнений.

   • Умножим первое уравнение на $\frac{2}{5}$ и прибавим ко второму уравнению:
     $$
     \begin{pmatrix}
     5 & 3 & 9 & | & 2 \
     0 & \frac{26}{5} & \frac{23}{5} & | & -\frac{6}{5} \
     2 & -3 & 5 & | & 12
     \end{pmatrix}
     $$
   • Умножим первое уравнение на $-\frac{2}{5}$ и прибавим к третьему уравнению:
     $$
     \begin{pmatrix}
     5 & 3 & 9 & | & 2 \
     0 & \frac{26}{5} & \frac{23}{5} & | & -\frac{6}{5} \
     0 & -\frac{21}{5} & \frac{7}{5} & | & \frac{56}{5}
     \end{pmatrix}
     $$

2. Шаг 2: Исключим $x_2$ из третьего уравнения.

   • Умножим второе уравнение на $\frac{21}{26}$ и прибавим к третьему уравнению:
     $$
     \begin{pmatrix}
     5 & 3 & 9 & | & 2 \
     0 & \frac{26}{5} & \frac{23}{5} & | & -\frac{6}{5} \
     0 & 0 & \frac{238}{26} & | & \frac{133}{13}
     \end{pmatrix}
     $$

Теперь у нас есть ступенчатая форма матрицы. Решим систему уравнений, начиная с последнего уравнения:

• $\frac{238}{26}x_3 = \frac{133}{13} \Rightarrow x_3 = \frac{133}{13} \cdot \frac{26}{238} = \frac{133 \cdot 2}{238} = \frac{266}{238} = \frac{19}{17}$
• $\frac{26}{5}x_2 + \frac{23}{5}x_3 = -\frac{6}{5} \Rightarrow \frac{26}{5}x_2 = -\frac{6}{5} - \frac{23}{5} \cdot \frac{19}{17} \Rightarrow x_2 = \frac{5}{26} \left( -\frac{6}{5} - \frac{23 \cdot 19}{5 \cdot 17} \right) = -\frac{1}{2}$
• $5x_1 + 3x_2 + 9x_3 = 2 \Rightarrow 5x_1 = 2 - 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) - 9 \cdot \frac{19}{17} \Rightarrow x_1 = \frac{1}{5} \left( 2 + \frac{3}{2} - \frac{171}{17} \right) = -\frac{1}{2}$

Таким образом, решение системы:
$$
\begin{cases}
x_1 = -\frac{1}{2} \
x_2 = -\frac{1}{2} \
x_3 = \frac{19}{17}
\end{cases}
$$

3. Решение системы по формулам Крамера

Для решения системы по формулам Крамера, вычислим определитель основной матрицы и определители для каждой переменной.

Основная матрица:
$$
A = \begin{pmatrix}
5 & 3 & 9 \
-2 & 4 & 1 \
2 & -3 & 5
\end{pmatrix}
$$

Определитель основной матрицы:
$det(A) = 5(4 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) - 3((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 2) + 9((-2) \cdot (-3) - 4 \cdot 2) = 5(20 + 3) - 3(-10 - 2) + 9(6 - 8) = 5(23) - 3(-12) + 9(-2) = 115 + 36 - 18 = 133$

Теперь вычислим определители для каждой переменной, заменяя соответствующий столбец в основной матрице на столбец свободных членов:

$A_1 = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 9 \
-2 & 4 & 1 \
12 & -3 & 5
\end{pmatrix}$

$det(A_1) = 2(4 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) - 3((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 12) + 9((-2) \cdot (-3) - 4 \cdot 12) = 2(20 + 3) - 3(-10 - 12) + 9(6 - 48) = 2(23) - 3(-22) + 9(-42) = 46 + 66 - 378 = -266$

$A_2 = \begin{pmatrix}
5 & 2 & 9 \
-2 & -2 & 1 \
2 & 12 & 5
\end{pmatrix}$

$det(A_2) = 5((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 12) - 2((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 2) + 9((-2) \cdot 12 - (-2) \cdot 2) = 5(-10 - 12) - 2(-10 - 2) + 9(-24 + 4) = 5(-22) - 2(-12) + 9(-20) = -110 + 24 - 180 = -266$

$A_3 = \begin{pmatrix}
5 & 3 & 2 \
-2 & 4 & -2 \
2 & -3 & 12
\end{pmatrix}$

$det(A_3) = 5(4 \cdot 12 - (-2) \cdot (-3)) - 3((-2) \cdot 12 - (-2) \cdot 2) + 2((-2) \cdot (-3) - 4 \cdot 2) = 5(48 - 6) - 3(-24 + 4) + 2(6 - 8) = 5(42) - 3(-20) + 2(-2) = 210 + 60 - 4 = 266$

Теперь найдем значения переменных:

$x_1 = \frac{det(A_1)}{det(A)} = \frac{-266}{133} = -2$
$x_2 = \frac{det(A_2)}{det(A)} = \frac{-266}{133} = -2$
$x_3 = \frac{det(A_3)}{det(A)} = \frac{266}{133} = 2$

Ответ:
$$
\begin{cases}
x_1 = -2 \
x_2 = -2 \
x_3 = 2
\end{cases}
$$

Внимание! Ответы, полученные методом Гаусса и по формулам Крамера, различаются. Это может быть связано с вычислительными ошибками при ручном расчете. Рекомендуется перепроверить вычисления или использовать вычислительные инструменты для более точного решения.