Ассистент: Конечно, давай разберем решение каждой задачи максимально подробно.
Задание 1: Вычисление исправленных углов
Цель: Рассчитать и скорректировать измеренные углы, чтобы их сумма соответствовала теоретической сумме углов пятиугольника.
-
Вычисление теоретической суммы углов (Σβтеор):
- Формула: $\Sigma\beta_{теор} = 180^\circ (n - 2)$, где n - количество углов (в данном случае, 5).
- Объяснение: Эта формула основана на теореме о сумме углов многоугольника. Для любого n-угольника сумма его внутренних углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.
-
Вычисление: $\Sigma\beta_{теор} = 180^\circ (5 - 2) = 180^\circ \cdot 3 = 540^\circ$
2. Вычисление измеренной суммы углов (Σβизм):
-
Объяснение: Просто складываем все углы, измеренные на местности.
-
Вычисление:
$\Sigma\beta_{изм} = 88^\circ 14' + 184^\circ 1'30'' + 91^\circ 55'30'' + 90^\circ 37' + 85^\circ 10'30'' = 539^\circ 58'30''$
3. Вычисление невязки (fβ):
-
Формула: $f_\beta = \Sigma\beta_{изм} - \Sigma\beta_{теор}$
- Объяснение: Невязка показывает разницу между измеренной суммой углов и теоретической. Она возникает из-за погрешностей измерений.
-
Вычисление: $f_\beta = 539^\circ 58'30'' - 540^\circ = -1'30''$
4. Вычисление допустимой невязки (fβдоп):
-
Формула: $f_{\beta_{доп}} = 1'\sqrt{n}$, где n - количество углов.
- Объяснение: Допустимая невязка определяет, насколько большой может быть разница между измеренной и теоретической суммой углов, чтобы измерения считались достаточно точными. Формула учитывает количество углов: чем больше углов, тем больше допустимая невязка.
- Вычисление: $f_{\beta_{доп}} = 1'\sqrt{5} \approx 2'14''$
-
Сравнение: Так как $|f_\beta| < f_{\beta_{доп}}$, невязка допустима. Это означает, что наши измерения достаточно точные и можно продолжать обработку данных.
5. Вычисление поправки (Поправка):
-
Поправка на один угол: $\frac{-f_\beta}{n} = \frac{1'30''}{5} = 18''$
- Объяснение: Чтобы сумма исправленных углов точно соответствовала теоретической, нужно распределить невязку между всеми углами. Мы делим невязку на количество углов, чтобы получить поправку для каждого угла.
- Прибавляем поправку к каждому измеренному углу:
- 1 точка: $88^\circ 14' + 18'' = 88^\circ 14'18''$
- 2 точка: $184^\circ 1'30'' + 18'' = 184^\circ 1'48''$
- 3 точка: $91^\circ 55'30'' + 18'' = 91^\circ 55'48''$
- 4 точка: $90^\circ 37' + 18'' = 90^\circ 37'18''$
- 5 точка: $85^\circ 10'30'' + 18'' = 85^\circ 10'48''$
Задание 2: Вычисление дирекционных углов
Цель: Определить дирекционные углы всех сторон многоугольника, используя исходный дирекционный угол и исправленные значения углов.
-
Вычисление дирекционного угла для каждой стороны:
- Формула: $\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_{i+1_{испр}}$, если результат больше 360°, вычитаем 360°.
- Объяснение: Дирекционный угол - это угол между направлением на север и направлением на данную сторону. Формула позволяет вычислить дирекционный угол следующей стороны, зная дирекционный угол текущей стороны и внутренний угол между ними. Добавление $180^\circ$ необходимо для пересчета угла на противоположное направление, а вычитание исправленного угла $\beta_{i+1_{испр}}$ учитывает поворот стороны. Если результат превышает $360^\circ$, вычитаем $360^\circ$, чтобы угол оставался в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$.
- $\alpha_{2-3} = 64^\circ 10' + 180^\circ - 184^\circ 1'48'' = 59^\circ 6'12''$
- $\alpha_{3-4} = 59^\circ 6'12'' + 180^\circ - 91^\circ 55'48'' = 147^\circ 10'24''$
- $\alpha_{4-5} = 147^\circ 10'24'' + 180^\circ - 90^\circ 37'18'' = 236^\circ 33'6''$
- $\alpha_{5-1} = 236^\circ 33'6'' + 180^\circ - 85^\circ 10'48'' = 331^\circ 22'18''$
- $\alpha_{1-2} = 331^\circ 22'18'' + 180^\circ - 88^\circ 14'18'' = 423^\circ 7'60'' - 360^\circ = 64^\circ 7'60'' = 64^\circ 8'$ (округлили)
Задание 3: Вычисление приращений координат
Цель: Вычислить приращения координат ΔX и ΔY для каждой стороны многоугольника, используя дирекционные углы и длины сторон.
-
Вычисление $\Delta X$ и $\Delta Y$:
- Формулы:
- $\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)$
- $\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)$
- Объяснение: Приращения координат показывают, насколько изменяются координаты X и Y при движении вдоль каждой стороны многоугольника. Они вычисляются с использованием тригонометрических функций (косинуса и синуса) дирекционного угла и длины стороны.
- Для стороны 1-2:
- $\Delta X_{1-2} = 26.72 \cdot \cos(64^\circ 10') \approx 11.62$
- $\Delta Y_{1-2} = 26.72 \cdot \sin(64^\circ 10') \approx 24.05$
- Для стороны 2-3:
- $\Delta X_{2-3} = 58.40 \cdot \cos(59^\circ 6'12'') \approx 29.95$
- $\Delta Y_{2-3} = 58.40 \cdot \sin(59^\circ 6'12'') \approx 50.17$
- Для стороны 3-4:
- $\Delta X_{3-4} = 70.52 \cdot \cos(147^\circ 10'24'') \approx -59.24$
- $\Delta Y_{3-4} = 70.52 \cdot \sin(147^\circ 10'24'') \approx 38.44$
- Для стороны 4-5:
- $\Delta X_{4-5} = 90.60 \cdot \cos(236^\circ 33'6'') \approx -50.24$
- $\Delta Y_{4-5} = 90.60 \cdot \sin(236^\circ 33'6'') \approx -75.78$
- Для стороны 5-1:
- $\Delta X_{5-1} = 76.33 \cdot \cos(331^\circ 22'18'') \approx 67.24$
- $\Delta Y_{5-1} = 76.33 \cdot \sin(331^\circ 22'18'') \approx -35.22$
