Решение геодезической задачи: вычисление углов, дирекционных углов и приращений координат

Вычисление теоретической суммы углов (Σβ_теор):

• Формула: \(\Sigma\beta_{теор} = 180^\circ (n - 2)\), где n - количество углов (в данном случае, 5).

• \(\Sigma\beta_{теор} = 180^\circ (5 - 2) = 180^\circ \cdot 3 = 540^\circ\)
  2. Вычисление измеренной суммы углов (Σβ_изм):

• Складываем все измеренные углы:
  \(\Sigma\beta_{изм} = 88^\circ 14' + 184^\circ 1'30'' + 91^\circ 55'30'' + 90^\circ 37' + 85^\circ 10'30'' = 539^\circ 58'30''\)
  3. Вычисление невязки (f_β):

• Формула: \(f_\beta = \Sigma\beta_{изм} - \Sigma\beta_{теор}\)

• \(f_\beta = 539^\circ 58'30'' - 540^\circ = -1'30''\)
  4. Вычисление допустимой невязки (f_βдоп):

• Формула: \(f_{\beta_{доп}} = 1'\sqrt{n}\), где n - количество углов.

• \(f_{\beta_{доп}} = 1'\sqrt{5} \approx 2'14''\)

• Так как \(|f_\beta| < f_{\beta_{доп}}\), невязка допустима.
  5. Вычисление поправки (Поправка):

• Поправка на один угол: \(\frac{-f_\beta}{n} = \frac{1'30''}{5} = 18''\)

• Прибавляем поправку к каждому измеренному углу:
  • 1 точка: \(88^\circ 14' + 18'' = 88^\circ 14'18''\)
  • 2 точка: \(184^\circ 1'30'' + 18'' = 184^\circ 1'48''\)
  • 3 точка: \(91^\circ 55'30'' + 18'' = 91^\circ 55'48''\)
  • 4 точка: \(90^\circ 37' + 18'' = 90^\circ 37'18''\)
  • 5 точка: \(85^\circ 10'30'' + 18'' = 85^\circ 10'48''\)

Вычисление дирекционного угла для каждой стороны:

• Формула: \(\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_{i+1_{испр}}\), если результат больше 360°, вычитаем 360°.
• \(\alpha_{2-3} = 64^\circ 10' + 180^\circ - 184^\circ 1'48'' = 59^\circ 6'12''\)
• \(\alpha_{3-4} = 59^\circ 6'12'' + 180^\circ - 91^\circ 55'48'' = 147^\circ 10'24''\)
• \(\alpha_{4-5} = 147^\circ 10'24'' + 180^\circ - 90^\circ 37'18'' = 236^\circ 33'6''\)
• \(\alpha_{5-1} = 236^\circ 33'6'' + 180^\circ - 85^\circ 10'48'' = 331^\circ 22'18''\)
• \(\alpha_{1-2} = 331^\circ 22'18'' + 180^\circ - 88^\circ 14'18'' = 423^\circ 7'60'' - 360^\circ = 64^\circ 7'60'' = 64^\circ 8'\) (округлили)

Вычисление \(\Delta X\) и \(\Delta Y\):

• Формулы:
  • \(\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)\)
  • \(\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)\)
• Для стороны 1-2:
  • \(\Delta X_{1-2} = 26.72 \cdot \cos(64^\circ 10') \approx 11.62\)
  • \(\Delta Y_{1-2} = 26.72 \cdot \sin(64^\circ 10') \approx 24.05\)
• Для стороны 2-3:
  • \(\Delta X_{2-3} = 58.40 \cdot \cos(59^\circ 6'12'') \approx 29.95\)
  • \(\Delta Y_{2-3} = 58.40 \cdot \sin(59^\circ 6'12'') \approx 50.17\)
• Для стороны 3-4:
  • \(\Delta X_{3-4} = 70.52 \cdot \cos(147^\circ 10'24'') \approx -59.24\)
  • \(\Delta Y_{3-4} = 70.52 \cdot \sin(147^\circ 10'24'') \approx 38.44\)
• Для стороны 4-5:
  • \(\Delta X_{4-5} = 90.60 \cdot \cos(236^\circ 33'6'') \approx -50.24\)
  • \(\Delta Y_{4-5} = 90.60 \cdot \sin(236^\circ 33'6'') \approx -75.78\)
• Для стороны 5-1:
  • \(\Delta X_{5-1} = 76.33 \cdot \cos(331^\circ 22'18'') \approx 67.24\)
  • \(\Delta Y_{5-1} = 76.33 \cdot \sin(331^\circ 22'18'') \approx -35.22\)

Вычисление теоретической суммы углов (Σβ_теор):

• Формула: \(\Sigma\beta_{теор} = 180^\circ (n - 2)\), где n - количество углов (в данном случае, 5).
• Объяснение: Эта формула основана на теореме о сумме углов многоугольника. Для любого n-угольника сумма его внутренних углов равна \((n-2) \cdot 180^\circ\).

• Вычисление: \(\Sigma\beta_{теор} = 180^\circ (5 - 2) = 180^\circ \cdot 3 = 540^\circ\)
  2. Вычисление измеренной суммы углов (Σβ_изм):

• Объяснение: Просто складываем все углы, измеренные на местности.

• Вычисление:
  \(\Sigma\beta_{изм} = 88^\circ 14' + 184^\circ 1'30'' + 91^\circ 55'30'' + 90^\circ 37' + 85^\circ 10'30'' = 539^\circ 58'30''\)
  3. Вычисление невязки (f_β):

• Формула: \(f_\beta = \Sigma\beta_{изм} - \Sigma\beta_{теор}\)

• Объяснение: Невязка показывает разницу между измеренной суммой углов и теоретической. Она возникает из-за погрешностей измерений.

• Вычисление: \(f_\beta = 539^\circ 58'30'' - 540^\circ = -1'30''\)
  4. Вычисление допустимой невязки (f_βдоп):

• Формула: \(f_{\beta_{доп}} = 1'\sqrt{n}\), где n - количество углов.

• Объяснение: Допустимая невязка определяет, насколько большой может быть разница между измеренной и теоретической суммой углов, чтобы измерения считались достаточно точными. Формула учитывает количество углов: чем больше углов, тем больше допустимая невязка.
• Вычисление: \(f_{\beta_{доп}} = 1'\sqrt{5} \approx 2'14''\)

• Сравнение: Так как \(|f_\beta| < f_{\beta_{доп}}\), невязка допустима. Это означает, что наши измерения достаточно точные и можно продолжать обработку данных.
  5. Вычисление поправки (Поправка):

• Поправка на один угол: \(\frac{-f_\beta}{n} = \frac{1'30''}{5} = 18''\)

• Объяснение: Чтобы сумма исправленных углов точно соответствовала теоретической, нужно распределить невязку между всеми углами. Мы делим невязку на количество углов, чтобы получить поправку для каждого угла.
• Прибавляем поправку к каждому измеренному углу:
  • 1 точка: \(88^\circ 14' + 18'' = 88^\circ 14'18''\)
  • 2 точка: \(184^\circ 1'30'' + 18'' = 184^\circ 1'48''\)
  • 3 точка: \(91^\circ 55'30'' + 18'' = 91^\circ 55'48''\)
  • 4 точка: \(90^\circ 37' + 18'' = 90^\circ 37'18''\)
  • 5 точка: \(85^\circ 10'30'' + 18'' = 85^\circ 10'48''\)

Вычисление дирекционного угла для каждой стороны:

• Формула: \(\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_{i+1_{испр}}\), если результат больше 360°, вычитаем 360°.
• Объяснение: Дирекционный угол - это угол между направлением на север и направлением на данную сторону. Формула позволяет вычислить дирекционный угол следующей стороны, зная дирекционный угол текущей стороны и внутренний угол между ними. Добавление \(180^\circ\) необходимо для пересчета угла на противоположное направление, а вычитание исправленного угла \(\beta_{i+1_{испр}}\) учитывает поворот стороны. Если результат превышает \(360^\circ\), вычитаем \(360^\circ\), чтобы угол оставался в диапазоне от \(0^\circ\) до \(360^\circ\).
• \(\alpha_{2-3} = 64^\circ 10' + 180^\circ - 184^\circ 1'48'' = 59^\circ 6'12''\)
• \(\alpha_{3-4} = 59^\circ 6'12'' + 180^\circ - 91^\circ 55'48'' = 147^\circ 10'24''\)
• \(\alpha_{4-5} = 147^\circ 10'24'' + 180^\circ - 90^\circ 37'18'' = 236^\circ 33'6''\)
• \(\alpha_{5-1} = 236^\circ 33'6'' + 180^\circ - 85^\circ 10'48'' = 331^\circ 22'18''\)
• \(\alpha_{1-2} = 331^\circ 22'18'' + 180^\circ - 88^\circ 14'18'' = 423^\circ 7'60'' - 360^\circ = 64^\circ 7'60'' = 64^\circ 8'\) (округлили)

Вычисление \(\Delta X\) и \(\Delta Y\):

• Формулы:
  • \(\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)\)
  • \(\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)\)
• Объяснение: Приращения координат показывают, насколько изменяются координаты X и Y при движении вдоль каждой стороны многоугольника. Они вычисляются с использованием тригонометрических функций (косинуса и синуса) дирекционного угла и длины стороны.
• Для стороны 1-2:
  • \(\Delta X_{1-2} = 26.72 \cdot \cos(64^\circ 10') \approx 11.62\)
  • \(\Delta Y_{1-2} = 26.72 \cdot \sin(64^\circ 10') \approx 24.05\)
• Для стороны 2-3:
  • \(\Delta X_{2-3} = 58.40 \cdot \cos(59^\circ 6'12'') \approx 29.95\)
  • \(\Delta Y_{2-3} = 58.40 \cdot \sin(59^\circ 6'12'') \approx 50.17\)
• Для стороны 3-4:
  • \(\Delta X_{3-4} = 70.52 \cdot \cos(147^\circ 10'24'') \approx -59.24\)
  • \(\Delta Y_{3-4} = 70.52 \cdot \sin(147^\circ 10'24'') \approx 38.44\)
• Для стороны 4-5:
  • \(\Delta X_{4-5} = 90.60 \cdot \cos(236^\circ 33'6'') \approx -50.24\)
  • \(\Delta Y_{4-5} = 90.60 \cdot \sin(236^\circ 33'6'') \approx -75.78\)
• Для стороны 5-1:
  • \(\Delta X_{5-1} = 76.33 \cdot \cos(331^\circ 22'18'') \approx 67.24\)
  • \(\Delta Y_{5-1} = 76.33 \cdot \sin(331^\circ 22'18'') \approx -35.22\)