Национальные доходы стран для сбалансированной торговли

Я понял, нужно найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли, используя структурную матрицу.

Задание 11

Для решения этой задачи нам потребуется использовать модель международной торговли. В сбалансированной торговле сумма доходов каждой страны равна сумме её расходов. Структурная матрица A показывает доли расходов каждой страны на товары других стран.

Пусть \(x_i\) - национальный доход страны i. Тогда условие сбалансированной торговли можно записать как:

\(x_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ji} x_j\)

где \(a_{ji}\) - элемент матрицы A, показывающий долю расходов страны j на товары страны i, а n - количество стран.

В нашем случае матрица A имеет вид:

\(A = \begin{bmatrix} 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 2/2 & 2/2 & 2/3 & 2/3 \end{bmatrix}\)

Запишем систему уравнений для национальных доходов стран S, S1, 2, 3:

\(x_S = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{2}x_3\)
\(x_{S1} = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{2}x_3\)
\(x_2 = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{3}x_3\)
\(x_3 = \frac{1}{4}x_S + \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{1}{4}x_2 + \frac{2}{3}x_3\)

Упростим систему:

\(\frac{3}{4}x_S - \frac{1}{4}x_{S1} - \frac{1}{4}x_2 - x_3 = 0\)
\(-\frac{1}{4}x_S + \frac{3}{4}x_{S1} - \frac{1}{4}x_2 - x_3 = 0\)
\(-\frac{1}{4}x_S - \frac{1}{4}x_{S1} + \frac{3}{4}x_2 - \frac{2}{3}x_3 = 0\)
\(-\frac{1}{4}x_S - \frac{1}{4}x_{S1} - \frac{1}{4}x_2 + \frac{1}{3}x_3 = 0\)

Заметим, что первые два уравнения отличаются только перестановкой \(x_S\) и \(x_{S1}\), значит, \(x_S = x_{S1}\).

Подставим \(x_S = x_{S1}\) в третье и четвертое уравнения:

\(-\frac{1}{2}x_S + \frac{3}{4}x_2 - \frac{2}{3}x_3 = 0\)
\(-\frac{1}{2}x_S - \frac{1}{4}x_2 + \frac{1}{3}x_3 = 0\)

Умножим первое уравнение на 4 и второе на 4:

\(-2x_S + 3x_2 - \frac{8}{3}x_3 = 0\)
\(-2x_S - x_2 + \frac{4}{3}x_3 = 0\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\(4x_2 - 4x_3 = 0\)
\(x_2 = x_3\)

Подставим \(x_2 = x_3\) во второе уравнение:

\(-2x_S - x_3 + \frac{4}{3}x_3 = 0\)
\(-2x_S + \frac{1}{3}x_3 = 0\)
\(2x_S = \frac{1}{3}x_3\)
\(x_3 = 6x_S\)

Итак, мы получили:

\(x_S = x_{S1}\)
\(x_2 = x_3\)
\(x_3 = 6x_S\)

Пусть \(x_S = 1\), тогда \(x_{S1} = 1\), \(x_2 = 6\), \(x_3 = 6\).

Ответ: Национальные доходы стран пропорциональны числам: \(x_S = 1\), \(x_{S1} = 1\), \(x_2 = 6\), \(x_3 = 6\).