Здравствуйте! Давайте решим задачу линейного программирования графическим методом.

Задание 1

Условие задачи:

Найти максимальное и минимальное значения функции $F = 2x_1 + 3x_2$ при следующих ограничениях:

• $5x_1 + 3x_2 \geq 15$
• $-5x_1 + 4x_2 \leq 20$
• $2x_1 + x_2 \leq 10$
• $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$

Решение:

1. Строим область допустимых решений (ОДР). Для этого преобразуем неравенства в уравнения и построим соответствующие прямые на координатной плоскости $x_1Ox_2$.

   • $5x_1 + 3x_2 = 15$
   • $-5x_1 + 4x_2 = 20$
   • $2x_1 + x_2 = 10$
   • $x_1 = 0, x_2 = 0$

2. Определяем полуплоскости, соответствующие каждому неравенству. Для этого выбираем пробную точку (например, (0,0)) и подставляем её координаты в неравенство. Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит пробную точку, иначе - не содержит.

   • $5x_1 + 3x_2 \geq 15$: $5(0) + 3(0) \geq 15$ (ложно). Значит, полуплоскость не содержит точку (0,0).
   • $-5x_1 + 4x_2 \leq 20$: $-5(0) + 4(0) \leq 20$ (истинно). Значит, полуплоскость содержит точку (0,0).
   • $2x_1 + x_2 \leq 10$: $2(0) + (0) \leq 10$ (истинно). Значит, полуплоскость содержит точку (0,0).
   • $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$: Ограничения на первую четверть координатной плоскости.

3. Находим ОДР как пересечение всех полуплоскостей. ОДР - это многоугольник, ограниченный прямыми, соответствующими ограничениям.

4. Определяем координаты угловых точек ОДР. Это точки пересечения прямых, ограничивающих ОДР. Найдем их:

   • Пересечение $5x_1 + 3x_2 = 15$ и $x_1 = 0$: $A(0, 5)$
   • Пересечение $5x_1 + 3x_2 = 15$ и $-5x_1 + 4x_2 = 20$: $B(0, 5)$
   • Пересечение $-5x_1 + 4x_2 = 20$ и $2x_1 + x_2 = 10$: $C(0, 5)$
   • Пересечение $2x_1 + x_2 = 10$ и $x_2 = 0$: $D(5, 0)$
   • Пересечение $5x_1 + 3x_2 = 15$ и $x_2 = 0$: $E(3, 0)$

5. Вычисляем значение целевой функции $F = 2x_1 + 3x_2$ в каждой угловой точке ОДР.

   • $F(A) = 2(0) + 3(5) = 15$
   • $F(B) = 2(0) + 3(5) = 15$
   • $F(C) = 2(0) + 3(5) = 15$
   • $F(D) = 2(5) + 3(0) = 10$
   • $F(E) = 2(3) + 3(0) = 6$

6. Определяем максимальное и минимальное значения целевой функции.

   • $F_{max} = 15$ (достигается в точках A, B, C)
   • $F_{min} = 6$ (достигается в точке E)

Ответ:

• Максимальное значение $F = 15$
• Минимальное значение $F = 6$