Решение задачи линейного программирования графическим методом

Здравствуйте! Давайте решим задачу линейного программирования графическим методом.

Задание 1

Условие задачи:

Найти максимальное и минимальное значения функции \(F = 2x_1 + 3x_2\) при следующих ограничениях:

• \(5x_1 + 3x_2 \geq 15\)
• \(-5x_1 + 4x_2 \leq 20\)
• \(2x_1 + x_2 \leq 10\)
• \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)

Решение:

1. Строим область допустимых решений (ОДР). Для этого преобразуем неравенства в уравнения и построим соответствующие прямые на координатной плоскости \(x_1Ox_2\).

   • \(5x_1 + 3x_2 = 15\)
   • \(-5x_1 + 4x_2 = 20\)
   • \(2x_1 + x_2 = 10\)
   • \(x_1 = 0, x_2 = 0\)

2. Определяем полуплоскости, соответствующие каждому неравенству. Для этого выбираем пробную точку (например, (0,0)) и подставляем её координаты в неравенство. Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит пробную точку, иначе - не содержит.

   • \(5x_1 + 3x_2 \geq 15\): \(5(0) + 3(0) \geq 15\) (ложно). Значит, полуплоскость не содержит точку (0,0).
   • \(-5x_1 + 4x_2 \leq 20\): \(-5(0) + 4(0) \leq 20\) (истинно). Значит, полуплоскость содержит точку (0,0).
   • \(2x_1 + x_2 \leq 10\): \(2(0) + (0) \leq 10\) (истинно). Значит, полуплоскость содержит точку (0,0).
   • \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\): Ограничения на первую четверть координатной плоскости.

3. Находим ОДР как пересечение всех полуплоскостей. ОДР - это многоугольник, ограниченный прямыми, соответствующими ограничениям.

4. Определяем координаты угловых точек ОДР. Это точки пересечения прямых, ограничивающих ОДР. Найдем их:

   • Пересечение \(5x_1 + 3x_2 = 15\) и \(x_1 = 0\): \(A(0, 5)\)
   • Пересечение \(5x_1 + 3x_2 = 15\) и \(-5x_1 + 4x_2 = 20\): \(B(0, 5)\)
   • Пересечение \(-5x_1 + 4x_2 = 20\) и \(2x_1 + x_2 = 10\): \(C(0, 5)\)
   • Пересечение \(2x_1 + x_2 = 10\) и \(x_2 = 0\): \(D(5, 0)\)
   • Пересечение \(5x_1 + 3x_2 = 15\) и \(x_2 = 0\): \(E(3, 0)\)

5. Вычисляем значение целевой функции \(F = 2x_1 + 3x_2\) в каждой угловой точке ОДР.

   • \(F(A) = 2(0) + 3(5) = 15\)
   • \(F(B) = 2(0) + 3(5) = 15\)
   • \(F(C) = 2(0) + 3(5) = 15\)
   • \(F(D) = 2(5) + 3(0) = 10\)
   • \(F(E) = 2(3) + 3(0) = 6\)

6. Определяем максимальное и минимальное значения целевой функции.

   • \(F_{max} = 15\) (достигается в точках A, B, C)
   • \(F_{min} = 6\) (достигается в точке E)

Ответ:

• Максимальное значение \(F = 15\)
• Минимальное значение \(F = 6\)