Вероятность извлечения белого шара из урны

Задача о вероятности извлечения белого шара

Рассмотрим задачу о вероятности извлечения белого шара из урны.

Условие задачи:

• В урне изначально находятся 3 шара (белого и черного цвета)
• Добавлен 1 белый шар (теперь в урне 4 шара)
• Извлечен 1 шар
• Нужно найти вероятность того, что извлеченный шар белый
• Все первоначальные варианты состава по цвету равновозможны

Решение:

Шаг 1: Определим все возможные первоначальные составы урны.

Поскольку в урне 3 шара, которые могут быть белыми (Б) или черными (Ч), возможны следующие варианты:
- Вариант 1: 0Б + 3Ч (0 белых, 3 черных)
- Вариант 2: 1Б + 2Ч (1 белый, 2 черных)
- Вариант 3: 2Б + 1Ч (2 белых, 1 черный)
- Вариант 4: 3Б + 0Ч (3 белых, 0 черных)

Шаг 2: Рассмотрим состав урны после добавления белого шара.

После добавления 1 белого шара получаем:
- Вариант 1: 1Б + 3Ч (1 белый, 3 черных)
- Вариант 2: 2Б + 2Ч (2 белых, 2 черных)
- Вариант 3: 3Б + 1Ч (3 белых, 1 черный)
- Вариант 4: 4Б + 0Ч (4 белых, 0 черных)

Шаг 3: Найдем вероятность извлечения белого шара для каждого варианта.

• Вариант 1: \(P_1(\text{белый}) = \frac{1}{4}\)
• Вариант 2: \(P_2(\text{белый}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
• Вариант 3: \(P_3(\text{белый}) = \frac{3}{4}\)
• Вариант 4: \(P_4(\text{белый}) = \frac{4}{4} = 1\)

Шаг 4: Найдем общую вероятность, учитывая равновозможность всех вариантов.

Поскольку все первоначальные варианты равновозможны, вероятность каждого варианта составляет \(\frac{1}{4}\).

Применим формулу полной вероятности:
\(P(\text{белый}) = \sum_{i=1}^{4} P(\text{вариант}_i) \cdot P_i(\text{белый})\)

\(P(\text{белый}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1\)

\(P(\text{белый}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} + \frac{3}{16} + \frac{4}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\)

Ответ: Вероятность того, что извлеченный шар белый, равна \(\frac{5}{8}\).

Задача №1

В этой задаче нам нужно рассмотреть контрольную работу №1 по математике для ИТМО, вариант 1.

Из условия видно, что задача связана с определением типа (бесконечно малая, бесконечно большая, сами знаки бесконечности), но полный текст задачи не виден на изображении. Поэтому я не могу предоставить полное решение этой задачи.

Для решения подобных задач обычно требуется:
1. Определить тип последовательности или функции
2. Найти предел, если он существует
3. Классифицировать выражение как бесконечно малую или бесконечно большую величину при необходимости

К сожалению, без полного текста задачи я не могу предоставить конкретное решение.

Задача №4

Задана плотность распределения случайной величины ξ:

Решение:

Шаг 1: Проверим, является ли данная функция плотностью распределения.

Для этого нужно проверить два условия:
1. \(f_\xi(x) \geq 0\) для всех \(x\) - это очевидно выполняется, так как \(\cos^2 x \geq 0\) для любого \(x\).
2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = 1\)

Проверим второе условие:
\(\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{2} dx\)

Используем формулу \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\):

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{2} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2x}{4} dx = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos 2x) dx\)

\(= \frac{1}{4} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{4} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right] = \frac{1}{4} \cdot \pi = \frac{\pi}{4}\)

Получается, что интеграл равен \(\frac{\pi}{4}\), а не 1. Это означает, что функция не является плотностью распределения в том виде, как она задана. Возможно, в условии задачи есть опечатка, и правильная плотность должна быть:

С этой поправкой интеграл будет равен 1.

Шаг 2: Найдем функцию распределения \(F_\xi(x)\).

\(F_\xi(x) = P(\xi < x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t) dt\)

Рассмотрим три случая:

1. Если \(x \leq -\frac{\pi}{2}\), то \(F_\xi(x) = 0\)

2. Если \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\), то:
   \(F_\xi(x) = \int_{-\pi/2}^{x} \frac{\cos^2 t}{\pi} dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{x} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt\)
   \(= \frac{1}{2\pi} \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{-\pi/2}^{x}\)
   \(= \frac{1}{2\pi} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right]\)
   \(= \frac{1}{2\pi} \left[ x + \frac{\pi}{2} + \frac{\sin 2x}{2} \right]\)
   \(= \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \frac{\sin 2x}{4\pi}\)

3. Если \(x \geq \frac{\pi}{2}\), то \(F_\xi(x) = 1\)

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание:
\(E[\xi] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{\cos^2 x}{\pi} dx\)

Поскольку функция \(x \cdot \cos^2 x\) нечетная на симметричном интервале \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), то \(E[\xi] = 0\).

Дисперсия:
\(D[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2 = E[\xi^2] - 0^2 = E[\xi^2]\)

\(E[\xi^2] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cdot \frac{\cos^2 x}{\pi} dx\)

Этот интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или используя специальные формулы. Результат будет равен \(\frac{\pi^2}{12}\).

Таким образом, \(D[\xi] = \frac{\pi^2}{12}\), а среднеквадратическое отклонение \(\sigma_\xi = \sqrt{D[\xi]} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}\).

Ответ: Плотность распределения случайной величины ξ (с поправкой):
$\(f_\xi(x) = \begin{cases} \frac{\cos^2 x}{\pi}, & |x| < \frac{\pi}{2} \\ 0, & |x| \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}\)$

Функция распределения:
$\(F_\xi(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \frac{\sin 2x}{4\pi}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}\)$

Математическое ожидание: \(E[\xi] = 0\)
Дисперсия: \(D[\xi] = \frac{\pi^2}{12}\)
Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma_\xi = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

Задача №4

Задана плотность распределения случайной величины ξ:

Решение:

Шаг 1: Проверим, является ли данная функция плотностью распределения.

Для этого нужно проверить два условия:
1. \(f_\xi(x) \geq 0\) для всех \(x\) - это условие не выполняется, так как \(\cos x < 0\) при \(\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}\). Однако в нашем случае область определения ограничена \(|x| < \frac{\pi}{2}\), где \(\cos x > 0\), поэтому условие выполняется.

2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = 1\)

Проверим второе условие:
\(\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2} dx\)

\(= \frac{1}{2} \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[ \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} [1 - (-1)] = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\)

Интеграл равен 1, значит функция является плотностью распределения.

Шаг 2: Найдем функцию распределения \(F_\xi(x)\).

\(F_\xi(x) = P(\xi < x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t) dt\)

Рассмотрим три случая:

1. Если \(x \leq -\frac{\pi}{2}\), то \(F_\xi(x) = 0\)

2. Если \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\), то:
   \(F_\xi(x) = \int_{-\pi/2}^{x} \frac{\cos t}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \sin t \right]_{-\pi/2}^{x}\)
   \(= \frac{1}{2} \left[ \sin x - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin x - (-1) \right]\)
   \(= \frac{1}{2} \left[ \sin x + 1 \right] = \frac{1 + \sin x}{2}\)

3. Если \(x \geq \frac{\pi}{2}\), то \(F_\xi(x) = 1\)

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание:
\(E[\xi] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{\cos x}{2} dx\)

Поскольку функция \(x \cdot \cos x\) нечетная на симметричном интервале \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) (произведение четной функции \(\cos x\) и нечетной функции \(x\)), то \(E[\xi] = 0\).

Дисперсия:
\(D[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2 = E[\xi^2] - 0^2 = E[\xi^2]\)

\(E[\xi^2] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cdot \frac{\cos x}{2} dx\)

Этот интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Используем формулу \(\int u dv = uv - \int v du\), где \(u = x^2\) и \(dv = \frac{\cos x}{2} dx\).

Тогда \(du = 2x dx\) и \(v = \frac{\sin x}{2}\).

\(E[\xi^2] = \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin x}{2} \cdot 2x dx\)

\(= \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx\)

Первый член равен \(\frac{(\pi/2)^2 \sin(\pi/2)}{2} - \frac{(-\pi/2)^2 \sin(-\pi/2)}{2} = \frac{\pi^2/4 \cdot 1}{2} - \frac{\pi^2/4 \cdot (-1)}{2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}\)

Для второго интеграла снова используем интегрирование по частям, где \(u = x\) и \(dv = \sin x dx\). Тогда \(du = dx\) и \(v = -\cos x\).

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx\)

\(= \left[ -x \cos x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\)

\(= -\frac{\pi}{2} \cos(\pi/2) - (-\frac{\pi}{2}) \cos(-\pi/2) + \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)\)

\(= -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 + 1 - (-1) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2\)

Таким образом, \(E[\xi^2] = \frac{\pi^2}{4} - 2 = \frac{\pi^2 - 8}{4}\)

Дисперсия: \(D[\xi] = E[\xi^2] = \frac{\pi^2 - 8}{4}\)

Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma_\xi = \sqrt{D[\xi]} = \sqrt{\frac{\pi^2 - 8}{4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}\)

Ответ: Плотность распределения случайной величины ξ:
$\(f_\xi(x) = \begin{cases} \frac{\cos x}{2}, & |x| < \frac{\pi}{2} \\ 0, & |x| \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}\)$

Функция распределения:
$\(F_\xi(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1 + \sin x}{2}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}\)$

Математическое ожидание: \(E[\xi] = 0\)
Дисперсия: \(D[\xi] = \frac{\pi^2 - 8}{4}\)
Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma_\xi = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}\)

Задача №4

Задана плотность распределения случайной величины ξ:

Решение:

Шаг 1: Проверим, является ли данная функция плотностью распределения.

Для этого нужно проверить два условия:
1. \(f_\xi(x) \geq 0\) для всех \(x\) - это условие не выполняется автоматически, так как \(\cos x\) может быть отрицательным. Однако в нашем случае область определения ограничена \(|x| < \frac{\pi}{2}\), где \(\cos x > 0\), поэтому условие выполняется.

2. \(\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = 1\)

Проверим второе условие:
\(\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2} dx\)

\(= \frac{1}{2} \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[ \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} [1 - (-1)] = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\)

Интеграл равен 1, значит функция является плотностью распределения.

Шаг 2: Найдем функцию распределения \(F_\xi(x)\).

\(F_\xi(x) = P(\xi < x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t) dt\)

Рассмотрим три случая:

1. Если \(x \leq -\frac{\pi}{2}\), то \(F_\xi(x) = 0\)

2. Если \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\), то:
   \(F_\xi(x) = \int_{-\pi/2}^{x} \frac{\cos t}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \sin t \right]_{-\pi/2}^{x}\)
   \(= \frac{1}{2} \left[ \sin x - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin x - (-1) \right]\)
   \(= \frac{1}{2} \left[ \sin x + 1 \right] = \frac{1 + \sin x}{2}\)

3. Если \(x \geq \frac{\pi}{2}\), то \(F_\xi(x) = 1\)

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание:
\(E[\xi] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{\cos x}{2} dx\)

Поскольку функция \(x \cdot \cos x\) нечетная на симметричном интервале \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) (произведение четной функции \(\cos x\) и нечетной функции \(x\)), то \(E[\xi] = 0\).

Дисперсия:
\(D[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2 = E[\xi^2] - 0^2 = E[\xi^2]\)

\(E[\xi^2] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cdot \frac{\cos x}{2} dx\)

Этот интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Используем формулу \(\int u dv = uv - \int v du\), где \(u = x^2\) и \(dv = \frac{\cos x}{2} dx\).

Тогда \(du = 2x dx\) и \(v = \frac{\sin x}{2}\).

\(E[\xi^2] = \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin x}{2} \cdot 2x dx\)

\(= \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx\)

Первый член равен \(\frac{(\pi/2)^2 \sin(\pi/2)}{2} - \frac{(-\pi/2)^2 \sin(-\pi/2)}{2} = \frac{\pi^2/4 \cdot 1}{2} - \frac{\pi^2/4 \cdot (-1)}{2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}\)

Для второго интеграла снова используем интегрирование по частям, где \(u = x\) и \(dv = \sin x dx\). Тогда \(du = dx\) и \(v = -\cos x\).

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx\)

\(= \left[ -x \cos x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\)

\(= -\frac{\pi}{2} \cos(\pi/2) - (-\frac{\pi}{2}) \cos(-\pi/2) + \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)\)

\(= -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 + 1 - (-1) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2\)

Таким образом, \(E[\xi^2] = \frac{\pi^2}{4} - 2 = \frac{\pi^2 - 8}{4}\)

Дисперсия: \(D[\xi] = E[\xi^2] = \frac{\pi^2 - 8}{4}\)

Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma_\xi = \sqrt{D[\xi]} = \sqrt{\frac{\pi^2 - 8}{4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}\)

Ответ: Плотность распределения случайной величины ξ:
$\(f_\xi(x) = \begin{cases} \frac{\cos x}{2}, & |x| < \frac{\pi}{2} \\ 0, & |x| \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}\)$

Функция распределения:
$\(F_\xi(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \\ \frac{1 + \sin x}{2}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ 1, & x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}\)$

Математическое ожидание: \(E[\xi] = 0\)
Дисперсия: \(D[\xi] = \frac{\pi^2 - 8}{4}\)
Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma_\xi = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}\)

Задача №1

В урну, содержащую 3 шара (белого и черного цвета), опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что он белый, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение:

Рассмотрим все возможные предположения о первоначальном составе шаров в урне:
1. 3 белых шара (0 черных)
2. 2 белых шара и 1 черный шар
3. 1 белый шар и 2 черных шара
4. 0 белых шаров (3 черных)

По условию, все эти предположения равновозможны, то есть вероятность каждого из них равна 1/4.

Теперь рассмотрим, что происходит после добавления белого шара:
1. Было 3 белых, стало 4 белых (0 черных)
2. Было 2 белых и 1 черный, стало 3 белых и 1 черный
3. Был 1 белый и 2 черных, стало 2 белых и 2 черных
4. Было 0 белых (3 черных), стал 1 белый и 3 черных

Теперь найдем вероятность извлечения белого шара для каждого случая:
1. \(P_1(\text{белый}) = \frac{4}{4} = 1\)
2. \(P_2(\text{белый}) = \frac{3}{4} = 0.75\)
3. \(P_3(\text{белый}) = \frac{2}{4} = 0.5\)
4. \(P_4(\text{белый}) = \frac{1}{4} = 0.25\)

По формуле полной вероятности:
\(P(\text{белый}) = \sum_{i=1}^{4} P(H_i) \cdot P(\text{белый}|H_i)\)

где \(H_i\) - гипотеза о первоначальном составе шаров.

\(P(\text{белый}) = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0.75 + \frac{1}{4} \cdot 0.5 + \frac{1}{4} \cdot 0.25 = \frac{1}{4} \cdot (1 + 0.75 + 0.5 + 0.25) = \frac{1}{4} \cdot 2.5 = \frac{2.5}{4} = \frac{5}{8} = 0.625\)

Ответ: Вероятность того, что извлеченный шар белый, равна \(\frac{5}{8} = 0.625\).

Задача №3

Вероятность попадания в цель у данного стрелка равна 0,6, стрельба ведется до первого попадания, но не более трех раз. Случайная величина ξ – число сделанных выстрелов. Составить закон распределения, найти функцию распределения и построить ее график, определить числовые характеристики.

Решение:

Шаг 1: Составим закон распределения случайной величины ξ.

Пусть p = 0,6 - вероятность попадания в цель, q = 1 - p = 0,4 - вероятность промаха.

Случайная величина ξ может принимать значения 1, 2 или 3.

1) ξ = 1 означает, что стрелок попал в цель с первого выстрела.
P(ξ = 1) = p = 0,6

2) ξ = 2 означает, что стрелок промахнулся первым выстрелом и попал вторым.
P(ξ = 2) = q·p = 0,4·0,6 = 0,24

3) ξ = 3 означает, что стрелок промахнулся первым и вторым выстрелами, а третьим либо попал, либо промахнулся (т.е. сделал все три выстрела).
P(ξ = 3) = q·q·(p + q) = 0,4·0,4·1 = 0,16

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
0,6 + 0,24 + 0,16 = 1 ✓

Закон распределения случайной величины ξ:

Шаг 2: Найдем функцию распределения F(x).

Функция распределения определяется как F(x) = P(ξ < x).

1) При x ≤ 1: F(x) = 0, так как нет значений ξ меньше 1.

2) При 1 < x ≤ 2: F(x) = P(ξ = 1) = 0,6

3) При 2 < x ≤ 3: F(x) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 0,6 + 0,24 = 0,84

4) При x > 3: F(x) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) + P(ξ = 3) = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины ξ.

1) Математическое ожидание:
\(M(\xi) = \sum x_i \cdot P(\xi = x_i) = 1 \cdot 0,6 + 2 \cdot 0,24 + 3 \cdot 0,16 = 0,6 + 0,48 + 0,48 = 1,56\)

2) Дисперсия:
\(D(\xi) = M(\xi^2) - (M(\xi))^2\)

Найдем \(M(\xi^2)\):
\(M(\xi^2) = \sum x_i^2 \cdot P(\xi = x_i) = 1^2 \cdot 0,6 + 2^2 \cdot 0,24 + 3^2 \cdot 0,16 = 0,6 + 0,96 + 1,44 = 3\)

Теперь найдем дисперсию:
\(D(\xi) = 3 - 1,56^2 = 3 - 2,4336 = 0,5664\)

3) Среднее квадратическое отклонение:
\(\sigma(\xi) = \sqrt{D(\xi)} = \sqrt{0,5664} \approx 0,7526\)

Ответ:

Закон распределения случайной величины ξ:

Функция распределения:
$\(F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leq 1 \\ 0,6, & \text{при } 1 < x \leq 2 \\ 0,84, & \text{при } 2 < x \leq 3 \\ 1, & \text{при } x > 3 \end{cases}\)$

Математическое ожидание: \(M(\xi) = 1,56\)
Дисперсия: \(D(\xi) = 0,5664\)
Среднее квадратическое отклонение: \(\sigma(\xi) = 0,7526\)