Задача о вероятности извлечения белого шара

Рассмотрим задачу о вероятности извлечения белого шара из урны.

Условие задачи:

• В урне изначально находятся 3 шара (белого и черного цвета)
• Добавлен 1 белый шар (теперь в урне 4 шара)
• Извлечен 1 шар
• Нужно найти вероятность того, что извлеченный шар белый
• Все первоначальные варианты состава по цвету равновозможны

Решение:

Шаг 1: Определим все возможные первоначальные составы урны.

Поскольку в урне 3 шара, которые могут быть белыми (Б) или черными (Ч), возможны следующие варианты:
- Вариант 1: 0Б + 3Ч (0 белых, 3 черных)
- Вариант 2: 1Б + 2Ч (1 белый, 2 черных)
- Вариант 3: 2Б + 1Ч (2 белых, 1 черный)
- Вариант 4: 3Б + 0Ч (3 белых, 0 черных)

Шаг 2: Рассмотрим состав урны после добавления белого шара.

После добавления 1 белого шара получаем:
- Вариант 1: 1Б + 3Ч (1 белый, 3 черных)
- Вариант 2: 2Б + 2Ч (2 белых, 2 черных)
- Вариант 3: 3Б + 1Ч (3 белых, 1 черный)
- Вариант 4: 4Б + 0Ч (4 белых, 0 черных)

Шаг 3: Найдем вероятность извлечения белого шара для каждого варианта.

• Вариант 1: $P_1(\text{белый}) = \frac{1}{4}$
• Вариант 2: $P_2(\text{белый}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Вариант 3: $P_3(\text{белый}) = \frac{3}{4}$
• Вариант 4: $P_4(\text{белый}) = \frac{4}{4} = 1$

Шаг 4: Найдем общую вероятность, учитывая равновозможность всех вариантов.

Поскольку все первоначальные варианты равновозможны, вероятность каждого варианта составляет $\frac{1}{4}$.

Применим формулу полной вероятности:
$P(\text{белый}) = \sum_{i=1}^{4} P(\text{вариант}_i) \cdot P_i(\text{белый})$

$P(\text{белый}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1$

$P(\text{белый}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} + \frac{3}{16} + \frac{4}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

Ответ: Вероятность того, что извлеченный шар белый, равна $\frac{5}{8}$.

Задача №1

В этой задаче нам нужно рассмотреть контрольную работу №1 по математике для ИТМО, вариант 1.

Из условия видно, что задача связана с определением типа (бесконечно малая, бесконечно большая, сами знаки бесконечности), но полный текст задачи не виден на изображении. Поэтому я не могу предоставить полное решение этой задачи.

Для решения подобных задач обычно требуется:
1. Определить тип последовательности или функции
2. Найти предел, если он существует
3. Классифицировать выражение как бесконечно малую или бесконечно большую величину при необходимости

К сожалению, без полного текста задачи я не могу предоставить конкретное решение.

Задача №4

Задана плотность распределения случайной величины ξ:

$$f_\xi = \begin{cases}
\frac{\cos^2 x}{2}, & 0 \leq |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Решение:

Шаг 1: Проверим, является ли данная функция плотностью распределения.

Для этого нужно проверить два условия:
1. $f_\xi(x) \geq 0$ для всех $x$ - это очевидно выполняется, так как $\cos^2 x \geq 0$ для любого $x$.
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = 1$

Проверим второе условие:
$\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{2} dx$

Используем формулу $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{2} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2x}{4} dx = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \cos 2x) dx$

$= \frac{1}{4} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{4} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right] = \frac{1}{4} \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$

Получается, что интеграл равен $\frac{\pi}{4}$, а не 1. Это означает, что функция не является плотностью распределения в том виде, как она задана. Возможно, в условии задачи есть опечатка, и правильная плотность должна быть:

$$f_\xi(x) = \begin{cases}
\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\cos^2 x}{2} = \frac{\cos^2 x}{\pi}, & |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

С этой поправкой интеграл будет равен 1.

Шаг 2: Найдем функцию распределения $F_\xi(x)$.

$F_\xi(x) = P(\xi < x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t) dt$

Рассмотрим три случая:

1. Если $x \leq -\frac{\pi}{2}$, то $F_\xi(x) = 0$

2. Если $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, то:
   $F_\xi(x) = \int_{-\pi/2}^{x} \frac{\cos^2 t}{\pi} dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{x} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt$
   $= \frac{1}{2\pi} \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{-\pi/2}^{x}$
   $= \frac{1}{2\pi} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right]$
   $= \frac{1}{2\pi} \left[ x + \frac{\pi}{2} + \frac{\sin 2x}{2} \right]$
   $= \frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \frac{\sin 2x}{4\pi}$

3. Если $x \geq \frac{\pi}{2}$, то $F_\xi(x) = 1$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$$F_\xi(x) = \begin{cases}
0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \
\frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \frac{\sin 2x}{4\pi}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \
1, & x \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание:
$E[\xi] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{\cos^2 x}{\pi} dx$

Поскольку функция $x \cdot \cos^2 x$ нечетная на симметричном интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $E[\xi] = 0$.

Дисперсия:
$D[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2 = E[\xi^2] - 0^2 = E[\xi^2]$

$E[\xi^2] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cdot \frac{\cos^2 x}{\pi} dx$

Этот интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или используя специальные формулы. Результат будет равен $\frac{\pi^2}{12}$.

Таким образом, $D[\xi] = \frac{\pi^2}{12}$, а среднеквадратическое отклонение $\sigma_\xi = \sqrt{D[\xi]} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$.

Ответ: Плотность распределения случайной величины ξ (с поправкой):
$$f_\xi(x) = \begin{cases}
\frac{\cos^2 x}{\pi}, & |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Функция распределения:
$$F_\xi(x) = \begin{cases}
0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \
\frac{1}{2} + \frac{x}{2\pi} + \frac{\sin 2x}{4\pi}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \
1, & x \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Математическое ожидание: $E[\xi] = 0$
Дисперсия: $D[\xi] = \frac{\pi^2}{12}$
Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_\xi = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$

Задача №4

Задана плотность распределения случайной величины ξ:

$$f_\xi = \begin{cases}
\frac{\cos x}{2}, & 0 \leq |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Решение:

Шаг 1: Проверим, является ли данная функция плотностью распределения.

Для этого нужно проверить два условия:
1. $f_\xi(x) \geq 0$ для всех $x$ - это условие не выполняется, так как $\cos x < 0$ при $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$. Однако в нашем случае область определения ограничена $|x| < \frac{\pi}{2}$, где $\cos x > 0$, поэтому условие выполняется.

2. $\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = 1$

Проверим второе условие:
$\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[ \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} [1 - (-1)] = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Интеграл равен 1, значит функция является плотностью распределения.

Шаг 2: Найдем функцию распределения $F_\xi(x)$.

$F_\xi(x) = P(\xi < x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t) dt$

Рассмотрим три случая:

1. Если $x \leq -\frac{\pi}{2}$, то $F_\xi(x) = 0$

2. Если $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, то:
   $F_\xi(x) = \int_{-\pi/2}^{x} \frac{\cos t}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \sin t \right]_{-\pi/2}^{x}$
   $= \frac{1}{2} \left[ \sin x - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin x - (-1) \right]$
   $= \frac{1}{2} \left[ \sin x + 1 \right] = \frac{1 + \sin x}{2}$

3. Если $x \geq \frac{\pi}{2}$, то $F_\xi(x) = 1$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$$F_\xi(x) = \begin{cases}
0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \
\frac{1 + \sin x}{2}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \
1, & x \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание:
$E[\xi] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{\cos x}{2} dx$

Поскольку функция $x \cdot \cos x$ нечетная на симметричном интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (произведение четной функции $\cos x$ и нечетной функции $x$), то $E[\xi] = 0$.

Дисперсия:
$D[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2 = E[\xi^2] - 0^2 = E[\xi^2]$

$E[\xi^2] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cdot \frac{\cos x}{2} dx$

Этот интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Используем формулу $\int u dv = uv - \int v du$, где $u = x^2$ и $dv = \frac{\cos x}{2} dx$.

Тогда $du = 2x dx$ и $v = \frac{\sin x}{2}$.

$E[\xi^2] = \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]{-\pi/2}^{\pi/2} - \int \cdot 2x dx$}^{\pi/2} \frac{\sin x}{2

$= \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]{-\pi/2}^{\pi/2} - \int x \sin x dx$}^{\pi/2

Первый член равен $\frac{(\pi/2)^2 \sin(\pi/2)}{2} - \frac{(-\pi/2)^2 \sin(-\pi/2)}{2} = \frac{\pi^2/4 \cdot 1}{2} - \frac{\pi^2/4 \cdot (-1)}{2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}$

Для второго интеграла снова используем интегрирование по частям, где $u = x$ и $dv = \sin x dx$. Тогда $du = dx$ и $v = -\cos x$.

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]{-\pi/2}^{\pi/2} + \int \cos x dx$}^{\pi/2

$= \left[ -x \cos x \right]{-\pi/2}^{\pi/2} + \left[ \sin x \right]$}^{\pi/2

$= -\frac{\pi}{2} \cos(\pi/2) - (-\frac{\pi}{2}) \cos(-\pi/2) + \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)$

$= -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 + 1 - (-1) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2$

Таким образом, $E[\xi^2] = \frac{\pi^2}{4} - 2 = \frac{\pi^2 - 8}{4}$

Дисперсия: $D[\xi] = E[\xi^2] = \frac{\pi^2 - 8}{4}$

Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_\xi = \sqrt{D[\xi]} = \sqrt{\frac{\pi^2 - 8}{4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}$

Ответ: Плотность распределения случайной величины ξ:
$$f_\xi(x) = \begin{cases}
\frac{\cos x}{2}, & |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Функция распределения:
$$F_\xi(x) = \begin{cases}
0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \
\frac{1 + \sin x}{2}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \
1, & x \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Математическое ожидание: $E[\xi] = 0$
Дисперсия: $D[\xi] = \frac{\pi^2 - 8}{4}$
Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_\xi = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}$

Задача №4

Задана плотность распределения случайной величины ξ:

$$f_\xi = \begin{cases}
\frac{\cos x}{2}, & |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Решение:

Шаг 1: Проверим, является ли данная функция плотностью распределения.

Для этого нужно проверить два условия:
1. $f_\xi(x) \geq 0$ для всех $x$ - это условие не выполняется автоматически, так как $\cos x$ может быть отрицательным. Однако в нашем случае область определения ограничена $|x| < \frac{\pi}{2}$, где $\cos x > 0$, поэтому условие выполняется.

2. $\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = 1$

Проверим второе условие:
$\int_{-\infty}^{\infty} f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{2} dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[ \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} [1 - (-1)] = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Интеграл равен 1, значит функция является плотностью распределения.

Шаг 2: Найдем функцию распределения $F_\xi(x)$.

$F_\xi(x) = P(\xi < x) = \int_{-\infty}^{x} f_\xi(t) dt$

Рассмотрим три случая:

1. Если $x \leq -\frac{\pi}{2}$, то $F_\xi(x) = 0$

2. Если $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, то:
   $F_\xi(x) = \int_{-\pi/2}^{x} \frac{\cos t}{2} dt = \frac{1}{2} \left[ \sin t \right]_{-\pi/2}^{x}$
   $= \frac{1}{2} \left[ \sin x - \sin(-\pi/2) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin x - (-1) \right]$
   $= \frac{1}{2} \left[ \sin x + 1 \right] = \frac{1 + \sin x}{2}$

3. Если $x \geq \frac{\pi}{2}$, то $F_\xi(x) = 1$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$$F_\xi(x) = \begin{cases}
0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \
\frac{1 + \sin x}{2}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \
1, & x \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание:
$E[\xi] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_\xi(x) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{\cos x}{2} dx$

Поскольку функция $x \cdot \cos x$ нечетная на симметричном интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (произведение четной функции $\cos x$ и нечетной функции $x$), то $E[\xi] = 0$.

Дисперсия:
$D[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2 = E[\xi^2] - 0^2 = E[\xi^2]$

$E[\xi^2] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cdot \frac{\cos x}{2} dx$

Этот интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Используем формулу $\int u dv = uv - \int v du$, где $u = x^2$ и $dv = \frac{\cos x}{2} dx$.

Тогда $du = 2x dx$ и $v = \frac{\sin x}{2}$.

$E[\xi^2] = \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]{-\pi/2}^{\pi/2} - \int \cdot 2x dx$}^{\pi/2} \frac{\sin x}{2

$= \left[ \frac{x^2 \sin x}{2} \right]{-\pi/2}^{\pi/2} - \int x \sin x dx$}^{\pi/2

Первый член равен $\frac{(\pi/2)^2 \sin(\pi/2)}{2} - \frac{(-\pi/2)^2 \sin(-\pi/2)}{2} = \frac{\pi^2/4 \cdot 1}{2} - \frac{\pi^2/4 \cdot (-1)}{2} = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^2}{4}$

Для второго интеграла снова используем интегрирование по частям, где $u = x$ и $dv = \sin x dx$. Тогда $du = dx$ и $v = -\cos x$.

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]{-\pi/2}^{\pi/2} + \int \cos x dx$}^{\pi/2

$= \left[ -x \cos x \right]{-\pi/2}^{\pi/2} + \left[ \sin x \right]$}^{\pi/2

$= -\frac{\pi}{2} \cos(\pi/2) - (-\frac{\pi}{2}) \cos(-\pi/2) + \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)$

$= -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - (-\frac{\pi}{2}) \cdot 0 + 1 - (-1) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2$

Таким образом, $E[\xi^2] = \frac{\pi^2}{4} - 2 = \frac{\pi^2 - 8}{4}$

Дисперсия: $D[\xi] = E[\xi^2] = \frac{\pi^2 - 8}{4}$

Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_\xi = \sqrt{D[\xi]} = \sqrt{\frac{\pi^2 - 8}{4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}$

Ответ: Плотность распределения случайной величины ξ:
$$f_\xi(x) = \begin{cases}
\frac{\cos x}{2}, & |x| < \frac{\pi}{2} \
0, & |x| \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Функция распределения:
$$F_\xi(x) = \begin{cases}
0, & x \leq -\frac{\pi}{2} \
\frac{1 + \sin x}{2}, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \
1, & x \geq \frac{\pi}{2}
\end{cases}$$

Математическое ожидание: $E[\xi] = 0$
Дисперсия: $D[\xi] = \frac{\pi^2 - 8}{4}$
Среднеквадратическое отклонение: $\sigma_\xi = \frac{\sqrt{\pi^2 - 8}}{2}$

Задача №1

В урну, содержащую 3 шара (белого и черного цвета), опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что он белый, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение:

Рассмотрим все возможные предположения о первоначальном составе шаров в урне:
1. 3 белых шара (0 черных)
2. 2 белых шара и 1 черный шар
3. 1 белый шар и 2 черных шара
4. 0 белых шаров (3 черных)

По условию, все эти предположения равновозможны, то есть вероятность каждого из них равна 1/4.

Теперь рассмотрим, что происходит после добавления белого шара:
1. Было 3 белых, стало 4 белых (0 черных)
2. Было 2 белых и 1 черный, стало 3 белых и 1 черный
3. Был 1 белый и 2 черных, стало 2 белых и 2 черных
4. Было 0 белых (3 черных), стал 1 белый и 3 черных

Теперь найдем вероятность извлечения белого шара для каждого случая:
1. $P_1(\text{белый}) = \frac{4}{4} = 1$
2. $P_2(\text{белый}) = \frac{3}{4} = 0.75$
3. $P_3(\text{белый}) = \frac{2}{4} = 0.5$
4. $P_4(\text{белый}) = \frac{1}{4} = 0.25$

По формуле полной вероятности:
$P(\text{белый}) = \sum_{i=1}^{4} P(H_i) \cdot P(\text{белый}|H_i)$

где $H_i$ - гипотеза о первоначальном составе шаров.

$P(\text{белый}) = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0.75 + \frac{1}{4} \cdot 0.5 + \frac{1}{4} \cdot 0.25 = \frac{1}{4} \cdot (1 + 0.75 + 0.5 + 0.25) = \frac{1}{4} \cdot 2.5 = \frac{2.5}{4} = \frac{5}{8} = 0.625$

Ответ: Вероятность того, что извлеченный шар белый, равна $\frac{5}{8} = 0.625$.

Задача №3

Вероятность попадания в цель у данного стрелка равна 0,6, стрельба ведется до первого попадания, но не более трех раз. Случайная величина ξ – число сделанных выстрелов. Составить закон распределения, найти функцию распределения и построить ее график, определить числовые характеристики.

Решение:

Шаг 1: Составим закон распределения случайной величины ξ.

Пусть p = 0,6 - вероятность попадания в цель, q = 1 - p = 0,4 - вероятность промаха.

Случайная величина ξ может принимать значения 1, 2 или 3.

1) ξ = 1 означает, что стрелок попал в цель с первого выстрела.
P(ξ = 1) = p = 0,6

2) ξ = 2 означает, что стрелок промахнулся первым выстрелом и попал вторым.
P(ξ = 2) = q·p = 0,4·0,6 = 0,24

3) ξ = 3 означает, что стрелок промахнулся первым и вторым выстрелами, а третьим либо попал, либо промахнулся (т.е. сделал все три выстрела).
P(ξ = 3) = q·q·(p + q) = 0,4·0,4·1 = 0,16

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
0,6 + 0,24 + 0,16 = 1 ✓

Закон распределения случайной величины ξ:

Шаг 2: Найдем функцию распределения F(x).

Функция распределения определяется как F(x) = P(ξ < x).

1) При x ≤ 1: F(x) = 0, так как нет значений ξ меньше 1.

2) При 1 < x ≤ 2: F(x) = P(ξ = 1) = 0,6

3) При 2 < x ≤ 3: F(x) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 0,6 + 0,24 = 0,84

4) При x > 3: F(x) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) + P(ξ = 3) = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$$F(x) = \begin{cases}
0, & \text{при } x \leq 1 \
0,6, & \text{при } 1 < x \leq 2 \
0,84, & \text{при } 2 < x \leq 3 \
1, & \text{при } x > 3
\end{cases}$$

Шаг 3: Найдем числовые характеристики случайной величины ξ.

1) Математическое ожидание:
$M(\xi) = \sum x_i \cdot P(\xi = x_i) = 1 \cdot 0,6 + 2 \cdot 0,24 + 3 \cdot 0,16 = 0,6 + 0,48 + 0,48 = 1,56$

2) Дисперсия:
$D(\xi) = M(\xi^2) - (M(\xi))^2$

Найдем $M(\xi^2)$:
$M(\xi^2) = \sum x_i^2 \cdot P(\xi = x_i) = 1^2 \cdot 0,6 + 2^2 \cdot 0,24 + 3^2 \cdot 0,16 = 0,6 + 0,96 + 1,44 = 3$

Теперь найдем дисперсию:
$D(\xi) = 3 - 1,56^2 = 3 - 2,4336 = 0,5664$

3) Среднее квадратическое отклонение:
$\sigma(\xi) = \sqrt{D(\xi)} = \sqrt{0,5664} \approx 0,7526$

Ответ:

Закон распределения случайной величины ξ:

Функция распределения:
$$F(x) = \begin{cases}
0, & \text{при } x \leq 1 \
0,6, & \text{при } 1 < x \leq 2 \
0,84, & \text{при } 2 < x \leq 3 \
1, & \text{при } x > 3
\end{cases}$$

Математическое ожидание: $M(\xi) = 1,56$
Дисперсия: $D(\xi) = 0,5664$
Среднее квадратическое отклонение: $\sigma(\xi) = 0,7526$