Решение задач на многочлены: упрощение, старший коэффициент и корни
Задание 6
Суть задания: Упростить и упорядочить многочлен \(A(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + x^2 - 3\) по убыванию степеней переменной \(x\).
Решение:
-
Объединим подобные члены: В данном многочлене есть два члена с \(x^2\): \(-3x^2\) и \(+x^2\).
\(A(x) = x^3 + (-3x^2 + x^2) + 2x - 3\)
\(A(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 3\) -
Упорядочим по убыванию степеней: Степени переменной \(x\) уже расположены в порядке убывания: \(3, 2, 1, 0\) (для свободного члена \(-3\)).
Ответ: \(A(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 3\)
Задание 7
Суть задания: Найти старший коэффициент многочлена \(C(x) = 5x^3 + x^2 + 6x - 12\).
Решение:
- Старший коэффициент многочлена — это коэффициент при члене с самой высокой степенью переменной.
- В многочлене \(C(x) = 5x^3 + x^2 + 6x - 12\) самая высокая степень переменной \(x\) равна 3.
- Коэффициент при \(x^3\) равен 5.
Ответ: 5
Задание 8
Суть задания: Найти корни многочлена \(C(x) = 5x^3 + x^2 + 6x - 12\).
Решение:
Чтобы найти корни многочлена, нужно приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:
\(5x^3 + x^2 + 6x - 12 = 0\)
Это кубическое уравнение. Для его решения можно попробовать подобрать целые корни среди делителей свободного члена (-12). Делители числа 12: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\).
Проверим некоторые значения:
* При \(x = 1\): \(5(1)^3 + (1)^2 + 6(1) - 12 = 5 + 1 + 6 - 12 = 0\). Значит, \(x=1\) является корнем.
Так как \(x=1\) является корнем, то \((x-1)\) является множителем многочлена. Можно выполнить деление многочлена на \((x-1)\) столбиком или по схеме Горнера, чтобы найти остальные множители.
Используем схему Горнера для деления \(5x^3 + x^2 + 6x - 12\) на \((x-1)\):
| 5 | 1 | 6 | -12 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 6 | 12 | |
| 5 | 6 | 12 | 0 |
Результат деления: \(5x^2 + 6x + 12\).
Теперь нужно найти корни квадратного уравнения \(5x^2 + 6x + 12 = 0\).
Найдем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(5)(12) = 36 - 240 = -204\).
Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем многочлена \(C(x)\) является \(x=1\).
Ответ: 1
