Вычисление предела функции: разложение на множители и односторонние пределы
Язык задания: Russian.
Задание 1
Вычислить предел:
\(\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4}\)
Решение:
-
Проверим, является ли предел неопределенностью вида \(\frac{0}{0}\):
Подставим \(x = 2\) в числитель и знаменатель:
- Числитель: \(2(2)^2 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0\)
- Знаменатель: \((2)^2 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0\)
Так как и числитель, и знаменатель равны 0 при \(x = 2\), мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).
-
Разложим числитель и знаменатель на множители:
-
Числитель: \(2x^2 - x - 6\)
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - x - 6 = 0\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
В нашем случае \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -6\).
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}\)
\(x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
\(x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\)
Таким образом, \(2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2}) = (x - 2)(2x + 3)\)
-
Знаменатель: \(x^2 - 4x + 4\)
Это полный квадрат: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)
-
-
Упростим выражение:
\(\frac{2x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4} = \frac{(x - 2)(2x + 3)}{(x - 2)^2} = \frac{2x + 3}{x - 2}\) (при \(x \neq 2\))
-
Вычислим предел упрощенного выражения:
\(\lim_{x \to 2} \frac{2x + 3}{x - 2}\)
При \(x \to 2\), числитель стремится к \(2(2) + 3 = 7\), а знаменатель стремится к \(2 - 2 = 0\). Поскольку числитель стремится к ненулевому числу, а знаменатель к нулю, предел равен бесконечности.
Однако, нужно рассмотреть односторонние пределы:
- \(\lim_{x \to 2^+} \frac{2x + 3}{x - 2} = +\infty\) (так как \(x - 2 > 0\) при \(x > 2\))
- \(\lim_{x \to 2^-} \frac{2x + 3}{x - 2} = -\infty\) (так как \(x - 2 < 0\) при \(x < 2\))
Поскольку односторонние пределы не равны, предел не существует.
Ответ:
Предел \(\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{x^2 - 4x + 4}\) не существует (или равен бесконечности в зависимости от контекста).
[Подробнее про разложение на множители]|Объясни, как раскладывать квадратные трехчлены на множители, приведи примеры и формулы
[Односторонние пределы]|Объясни, что такое односторонние пределы и как их вычислять, приведи примеры
