Решение и объяснение математических выражений с дробями и степенями

Задание 1

Решение:

Задание 1 представлено в виде таблицы с несколькими числовыми выражениями. Необходимо вычислить значение каждого выражения.

1. \(( \frac{3}{4} : \frac{1}{3} )\)

   • Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
     \(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{4}\)

2. \((1 - \frac{1}{2}) : 1\)

   • Сначала выполняем вычитание в скобках:
     \(1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
   • Затем делим результат на 1:
     \(\frac{1}{2} : 1 = \frac{1}{2}\)

3. \(1,4 : (\frac{1}{3} + 1)\)

   • Сначала складываем числа в скобках:
     \(\frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}\)
   • Переводим десятичную дробь в обыкновенную: \(1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}\)
   • Теперь делим:
     \(\frac{7}{5} : \frac{4}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{21}{20}\)

4. \(0,5 - 1,5 : 0,8\)

   • Сначала выполняем деление:
     \(1,5 : 0,8 = \frac{15}{10} : \frac{8}{10} = \frac{15}{10} \cdot \frac{10}{8} = \frac{15}{8}\)
   • Переводим в десятичную дробь: \(\frac{15}{8} = 1,875\)
   • Теперь вычитаем:
     \(0,5 - 1,875 = -1,375\)

5. \(4,4\)

   • Значение выражения равно \(4,4\).

6. \((3 \cdot 10^7) : (36 \cdot 10^7)\)

   • Сокращаем \(10^7\):
     \(3 : 36 = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)

7. \(210 \cdot 117\)

   • \(210 \cdot 117 = 24570\)

8. \(273 : (9 + \frac{6}{7})\)

   • Сначала складываем в скобках:
     \(9 + \frac{6}{7} = \frac{63}{7} + \frac{6}{7} = \frac{69}{7}\)
   • Теперь делим:
     \(273 : \frac{69}{7} = 273 \cdot \frac{7}{69}\)
   • Сокращаем 273 и 69 на 3: \(273 = 3 \cdot 91\), \(69 = 3 \cdot 23\).
     \(91 \cdot \frac{7}{23}\)
   • \(91 = 7 \cdot 13\).
     \(\frac{7 \cdot 13 \cdot 7}{23} = \frac{637}{23}\)

9. \(\frac{1}{2^{-11}} - \frac{2}{1}\)

   • \(2^{-11} = \frac{1}{2^{11}}\).
   • \(\frac{1}{2^{-11}} = 2^{11} = 2048\).
   • \(\frac{2}{1} = 2\).
   • \(2048 - 2 = 2046\).

10. \((2^9)^{-3} : 2^{-29}\)

    • Используем свойство степени \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
      \((2^9)^{-3} = 2^{9 \cdot (-3)} = 2^{-27}\)
    • Теперь делим:
      \(2^{-27} : 2^{-29}\)
    • Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \(a^m : a^n = a^{m-n}\):
      \(2^{-27 - (-29)} = 2^{-27 + 29} = 2^2 = 4\)

11. \(\frac{11}{2} + \frac{9}{18}\)

    • Сокращаем вторую дробь: \(\frac{9}{18} = \frac{1}{2}\)
    • Складываем:
      \(\frac{11}{2} + \frac{1}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

12. \(12 : \frac{5}{3} + 4\)

    • Сначала делим:
      \(12 : \frac{5}{3} = 12 \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{5}\)
    • Приводим к общему знаменателю и складываем:
      \(\frac{36}{5} + 4 = \frac{36}{5} + \frac{20}{5} = \frac{56}{5}\)

13. \(0,005 \cdot 50000\)

    • \(0,005 \cdot 50000 = 5 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^4 = 25 \cdot 10^{(-3+4)} = 25 \cdot 10^1 = 250\)

14. \(9 \cdot (\frac{9}{1})^4\)

    • \((\frac{9}{1})^4 = 9^4 = 6561\)
    • \(9 \cdot 6561 = 59049\)

15. \(-19 \cdot (-\frac{9}{1})^4\)

    • \((-\frac{9}{1})^4 = (-9)^4 = 9^4 = 6561\) (четная степень делает результат положительным)
    • \(-19 \cdot 6561 = -124659\)

16. \((2 \cdot 10^2)^3 \cdot (3 \cdot 10^{-5})\)

    • \((2 \cdot 10^2)^3 = 2^3 \cdot (10^2)^3 = 8 \cdot 10^{2 \cdot 3} = 8 \cdot 10^6\)
    • Теперь умножаем:
      \((8 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^{-5}) = (8 \cdot 3) \cdot (10^6 \cdot 10^{-5}) = 24 \cdot 10^{6-5} = 24 \cdot 10^1 = 240\)

17. \(80 \cdot (-0,1)^{-2} - 3 \cdot (-0,1)^{-3}\)

    • \((-0,1)^{-2} = (-\frac{1}{10})^{-2} = (-10)^2 = 100\)
    • \((-0,1)^{-3} = (-\frac{1}{10})^{-3} = (-10)^3 = -1000\)
    • Подставляем значения:
      \(80 \cdot 100 - 3 \cdot (-1000) = 8000 + 3000 = 11000\)

18. \(3 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-4}\)

    • \(3 \cdot 10^{-1} = 0.3\)
    • \(1 \cdot 10^{-1} = 0.1\)
    • \(5 \cdot 10^{-4} = 0.0005\)
    • Складываем: \(0.3 + 0.1 + 0.0005 = 0.4005\)

Ответы:
1. \(\frac{9}{4}\)
2. \(\frac{1}{2}\)
3. \(\frac{21}{20}\)
4. \(-1,375\)
5. \(4,4\)
6. \(\frac{1}{12}\)
7. \(24570\)
8. \(\frac{637}{23}\)
9. \(2046\)
10. \(4\)
11. \(6\)
12. \(\frac{56}{5}\)
13. \(250\)
14. \(59049\)
15. \(-124659\)
16. \(240\)
17. \(11000\)
18. \(0,4005\)