Решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах

{
"subject": "Высшая математика",
"grade": 0,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах",
"description": "Пошаговое решение уравнения в полных дифференциалах с проверкой условия интегрируемости",
"keywords": ["дифференциальные уравнения", "полный дифференциал", "условие интегрируемости", "частные производные", "высшая математика"]
}

Давайте решим это дифференциальное уравнение пошагово.

1) Данное уравнение имеет вид: \(x\sqrt{4+y^2}dx + y\sqrt{1+x^2}dy = 0\)

2) Для проверки, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить условие:
\(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\), где
\(P = x\sqrt{4+y^2}\) и \(Q = y\sqrt{1+x^2}\)

3) Найдем частные производные:

\(\frac{\partial P}{\partial y} = x \cdot \frac{y}{\sqrt{4+y^2}}\)

\(\frac{\partial Q}{\partial x} = y \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

4) После упрощения видим, что \(\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}\)

5) Поэтому нужно найти интегрирующий множитель. В данном случае можно заметить, что если разделить уравнение на \(\sqrt{(4+y^2)(1+x^2)}\), то получим:

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{4+y^2}}dy = 0\)

6) После этого преобразования получаем уравнение в полных дифференциалах.

7) Общее решение:
\(\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx + \int \frac{y}{\sqrt{4+y^2}}dy = C\)

8) После интегрирования получаем:
\(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{4+y^2} = C\)

Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.