Векторы в регулярном шестиугольнике: определение модуля результирующего вектора

Name: Homiwork
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Author: Homiwork

Задание 02

Enunciado: En el hexágono regular de lado "a", Determine el módulo de la resultante.

Análisis:

Tenemos un hexágono regular cuyos lados son vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$. Además, se nos presenta el vector $\vec{f}$, que es una diagonal del hexágono. Se nos pide determinar el módulo de la resultante de los vectores que forman el hexágono.

En un hexágono regular, los vectores que representan los lados, al ser sumados, forman un vector nulo si se recorre el perímetro completo. Sin embargo, en este caso, la suma parece referirse a los vectores dibujados en la figura que inician en un punto común.

Observando la figura, podemos identificar las siguientes relaciones entre los vectores:

El vector $\vec{a}$ y el vector $\vec{d}$ son opuestos y tienen la misma magnitud (lados opuestos de un hexágono regular). Por lo tanto, $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.
El vector $\vec{f}$ representa una diagonal del hexágono. En un hexágono regular, la longitud de una diagonal corta que conecta vértices alternos es el doble de la longitud del lado. Por lo tanto, el módulo de $\vec{f}$ es $2a$.
Podemos expresar la suma vectorial de los lados que parten del origen como:
$$ \vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} $$
Sin embargo, la figura muestra que el vector resultante buscado es la suma de los vectores $\vec{a}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ y $\vec{f}$. Si interpretamos que la pregunta se refiere a la resultante de los vectores mostrados que parten del mismo punto de origen y llegan a los vértices del hexágono, y también incluyendo la diagonal $\vec{f}$, la interpretación más lógica sería:

La figura parece indicar que los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ forman un hexágono si se unen cola con cabeza. Sin embargo, están dibujados partiendo del mismo punto. La línea punteada que conecta las puntas de $\vec{a}$ y $\vec{d}$ sugiere que $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.

La resultante de los vectores que forman los lados del hexágono (si se tomaran como un polígono cerrado) sería cero. Pero aquí los vectores están representados de otra manera.

Consideremos la suma de los vectores que parten del mismo punto: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$. Si observamos la disposición, notamos que:
* $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son opuestos.
* $\vec{b}$ y $\vec{e}$ están dispuestos de tal forma que su suma forma una diagonal.
* $\vec{c}$ es otro lado.

Sin embargo, el vector $\vec{f}$ es una diagonal importante. En un hexágono regular, una diagonal que conecta vértices no adyacentes (como $\vec{f}$ parece ser) tiene una longitud de $2a$.

Vamos a interpretar la pregunta como la resultante de los vectores dibujados: $\vec{a}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ y $\vec{f}$.

Notamos que:
* $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son vectores opuestos de igual magnitud. Por lo tanto, $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.
* El vector $\vec{f}$ en un hexágono regular va desde un vértice hasta el vértice opuesto (saltando un vértice intermedio). Su magnitud es el doble de la longitud del lado. Entonces, $|\vec{f}| = 2a$.

Si la resultante buscada es $\vec{R} = \vec{a} + \vec{d} + \vec{e} + \vec{f}$, entonces:
$\vec{R} = (\vec{a} + \vec{d}) + \vec{e} + \vec{f}$
$\vec{R} = \vec{0} + \vec{e} + \vec{f}$
$\vec{R} = \vec{e} + \vec{f}$

Esto no parece corresponder a las opciones.

Reinterpretación basada en las opciones y la geometría del hexágono:

Consideremos los vectores como lados del hexágono que parten de un punto central, o como lados que forman el perímetro. La figura muestra los vectores partiendo de un mismo punto.

En un hexágono regular, los vectores que forman los lados, si se originan en el centro, se distribuyen uniformemente. Si parten de un vértice, su suma debe formar el vector que va del primer al último vértice.

Analicemos la relación entre los vectores mostrados:
* Los vectores $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son opuestos y de igual magnitud $a$. Su suma es $\vec{0}$.
* El vector $\vec{f}$ es una diagonal principal del hexágono. La longitud de esta diagonal es $2a$.
* Si consideramos los vectores que forman el perímetro, la suma de todos ellos sería $\vec{0}$.

La figura sugiere que los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ son los lados del hexágono. Y $\vec{f}$ es una diagonal. El punto donde parten los vectores $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ no es el centro del hexágono.

Analicemos las relaciones vectoriales dentro del hexágono:
* El vector que va del origen del vector $\vec{a}$ al origen del vector $\vec{b}$ es cero (salen del mismo punto).
* Si seguimos el perímetro del hexágono: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} + \text{(último lado)}$ = $\vec{0}$.
* En la figura, $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son lados opuestos, por lo tanto $|\vec{a}| = |\vec{d}| = a$ y son antiparalelos. Su suma es $\vec{0}$.
* $\vec{f}$ es una diagonal que conecta dos vértices no adyacentes. En un hexágono regular, la longitud de esta diagonal es $2a$.

Si la resultante buscada es la suma de los vectores dibujados que salen del origen: $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.
Podemos reordenar: $\vec{R} = (\vec{a} + \vec{d}) + \vec{b} + \vec{c} + \vec{e}$.
Como $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$:
$\vec{R} = \vec{0} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{e} = \vec{b} + \vec{c} + \vec{e}$.

Ahora, observemos el vector $\vec{f}$ en la figura. Parece ser la suma de dos lados adyacentes del hexágono, por ejemplo, $\vec{b} + \vec{c}$. Sin embargo, $\vec{f}$ es una diagonal principal.

Otra interpretación común en este tipo de problemas es que los vectores mostrados son los lados del hexágono dispuestos de forma que forman un polígono cerrado si se unen cola con cabeza. Pero aquí todos parten del mismo punto.

Si asumimos que el problema se refiere a la resultante de los vectores que conforman el hexágono y que $\vec{f}$ es una de las componentes o la resultante de algunos de ellos:

Consideremos el hexágono regular. La suma de los vectores que forman un polígono cerrado es cero.
Si partimos de un vértice y sumamos los 6 vectores de los lados, volvemos al punto de partida.

Veamos las relaciones dentro del hexágono regular:
* La distancia entre vértices opuestos es $2a$.
* La distancia entre vértices alternos (como la diagonal $\vec{f}$) es $2a$.
* La distancia entre vértices no adyacentes (salto de un vértice) es $\sqrt{3}a$.

En la figura, $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son opuestos, por lo que $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.
El vector $\vec{f}$ parece ser la suma de los vectores que van desde el origen del vector $\vec{a}$ hasta el vértice donde termina el vector $\vec{d}$.

Si la pregunta pide la resultante de los vectores que conforman el hexágono y $\vec{f}$ es una diagonal, entonces la suma de todos los lados del hexágono es cero.
Si $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$, y consideramos que estos son los 5 lados visibles y el vector $\vec{d}$ es el opuesto a $\vec{a}$, entonces si $\vec{a}$ y $\vec{d}$ se cancelan, la resultante es $\vec{b} + \vec{c} + \vec{e}$.

Ahora, analicemos el vector $\vec{f}$. En un hexágono regular, una diagonal principal como $\vec{f}$ tiene una longitud de $2a$.

Consideremos la figura como un conjunto de vectores que parten del mismo origen.
Tenemos $\vec{a}$ y $\vec{d}$ que son opuestos. $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.
Entonces la resultante de $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ es $\vec{b} + \vec{c} + \vec{e}$.

¿Qué relación tienen $\vec{b}, \vec{c}, \vec{e}$ con $\vec{f}$?
En un hexágono regular, si tomamos un vértice como origen, los vectores de los lados adyacentes y la diagonal principal pueden relacionarse.

Si tomamos el origen de $\vec{a}$ como un vértice del hexágono, entonces $\vec{a}$ es un lado. $\vec{d}$ es el lado opuesto.
La suma de todos los lados del hexágono es $\vec{0}$.
Si $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} + \vec{s} = \vec{0}$ (donde $\vec{s}$ es el sexto lado).

La figura muestra una configuración específica de los vectores.
Notemos que el vector $\vec{f}$ parece ser la suma de los vectores $\vec{e}$ y $\vec{c}$, o tal vez $\vec{a}$ y $\vec{b}$ si se trasladaran.

Si interpretamos que $\vec{f}$ es la resultante de dos lados consecutivos, por ejemplo, $\vec{f} = \vec{a} + \vec{b}$, esto no es correcto en la figura.

Vamos a considerar la suma de los vectores tal como están dibujados:
$\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$

Como $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son opuestos y de igual magnitud $a$, entonces $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.
Por lo tanto, $\vec{R} = \vec{b} + \vec{c} + \vec{e}$.

Ahora observemos la figura de nuevo. El vector $\vec{f}$ conecta el origen de $\vec{a}$ con la punta de $\vec{e}$.
Esto significa que $\vec{f}$ es la resultante de los vectores que van desde el origen de $\vec{a}$ hasta la punta de $\vec{e}$.
Si seguimos el camino: origen de $\vec{a}$ $\to$ punta de $\vec{a}$ $\to$ punta de $\vec{b}$ $\to$ punta de $\vec{c}$ $\to$ punta de $\vec{d}$ $\to$ punta de $\vec{e}$.
La suma de los vectores en orden sería: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.

El vector $\vec{f}$ está dibujado desde el origen de $\vec{a}$ hasta la punta de $\vec{e}$.
Por lo tanto, el vector $\vec{f}$ representa la suma: $\vec{f} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.

Esto significa que la resultante que se pide es, de hecho, el vector $\vec{f}$.
La pregunta es "Determine el módulo de la resultante."

Ahora debemos determinar el módulo de $\vec{f}$.
En un hexágono regular de lado $a$, la diagonal que conecta vértices no adyacentes (saltando un vértice) tiene una longitud de $2a$. El vector $\vec{f}$ es precisamente esta diagonal.

Paso 1: Identificar la resultante.
Observando la figura, el vector $\vec{f}$ se dibuja desde el punto de origen común de los vectores $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ hasta la punta del último vector $(\vec{e})$ en la secuencia imaginaria de suma de polígono. Por lo tanto, $\vec{f}$ representa la suma vectorial de $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.

Paso 2: Determinar la magnitud de $\vec{f}$ en un hexágono regular.
En un hexágono regular de lado $a$, las diagonales que conectan vértices no adyacentes (saltando un vértice) tienen una longitud igual al doble de la longitud del lado.
Diagrama de un hexágono regular:
Si consideramos los vértices como $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$.
Sea el origen el punto de partida de los vectores.
Si $\vec{a}$ va de $O$ a $P_1$, $\vec{b}$ de $P_1$ a $P_2$, $\vec{c}$ de $P_2$ a $P_3$, $\vec{d}$ de $P_3$ a $P_4$, $\vec{e}$ de $P_4$ a $P_5$.
Entonces $\vec{f}$ va de $O$ a $P_5$.
En un hexágono regular, la distancia del centro a cualquier vértice es $a$.
La diagonal $\vec{f}$ en la figura conecta el origen común de los vectores con la punta del vector $\vec{e}$. En la configuración de un hexágono regular, esta diagonal principal tiene una longitud de $2a$.

Paso 3: Concluir el módulo de la resultante.
Dado que la resultante es $\vec{f}$, y su módulo en un hexágono regular de lado $a$ es $2a$.

Respuesta: El módulo de la resultante es $2a$.

Verificación de opciones:
a) a
b) 4a
c) 2a
d) 3a
e) $\frac{3}{2}$ a

La opción correcta es c) 2a.

Explicación adicional sobre las relaciones vectoriales:
En un hexágono regular, si colocamos un vértice en el origen $(0,0)$, y el lado $a$ está a lo largo del eje x positivo, los vectores de los lados (partiendo del origen) o las relaciones entre ellos son:
Si consideramos un hexágono regular con centro en el origen, los vectores a los vértices son:
$(a, 0)$, $(a/2, a\sqrt{3}/2)$, $(-a/2, a\sqrt{3}/2)$, $(-a, 0)$, $(-a/2, -a\sqrt{3}/2)$, $(a/2, -a\sqrt{3}/2)$.
La suma de estos 6 vectores es $\vec{0}$.

En nuestro caso, los vectores son los lados. Si $\vec{a}$ es un lado, $|\vec{a}| = a$.
$\vec{a}$ y $\vec{d}$ son lados opuestos. $|\vec{d}| = a$ y están en direcciones opuestas. $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$.
$\vec{f}$ es una diagonal principal.
Consideremos la geometría:
Si unimos el origen del vector $\vec{a}$ con la punta del vector $\vec{e}$ mediante $\vec{f}$.
Esto implica que $\vec{f} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.
Dado que $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$, entonces $\vec{f} = \vec{b} + \vec{c} + \vec{e}$.
La longitud de la diagonal $\vec{f}$ es $2a$.

Imaginemos un hexágono regular $ABCDEF$.
Sea $O$ el origen.
$\vec{OA} = \vec{a}$
$\vec{AB} = \vec{b}$
$\vec{BC} = \vec{c}$
$\vec{CD} = \vec{d}$
$\vec{DE} = \vec{e}$
Si estos vectores forman un hexágono, la suma de todos los lados es $\vec{0}$.
En la figura, $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son lados opuestos. Si el hexágono está orientado de manera que $\vec{a}$ y $\vec{d}$ son opuestos, esto es consistente.
El vector $\vec{f}$ va desde $O$ hasta el punto $E$ (si seguimos la cadena).
Así, $\vec{f} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.
En un hexágono regular, la diagonal que une vértices no adyacentes (como $O$ y $E$ en esta disposición, saltando $A, B, C, D$) es una diagonal principal.
La longitud de esta diagonal es $2a$.

Zadanie 02

Treść: W regularnym sześciokącie o boku "a", określ moduł (wartość) wektora wynikowego.

Analiza:

Mamy regularny sześciokąt, którego boki są wektorami $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$. Dodatkowo przedstawiono wektor $\vec{f}$, który jest przekątną sześciokąta. Mamy określić moduł (wartość) wektora wynikowego utworzonego przez te wektory.

Zgodnie z rysunkiem, wektor $\vec{f}$ jest narysowany od wspólnego punktu początkowego wektorów $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ do punktu końcowego wektora $\vec{e}$. Oznacza to, że wektor $\vec{f}$ jest wektorem wynikowym sumy:
$$ \vec{f} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} $$

Krok 1: Zrozumienie konstrukcji wektora wynikowego.
Wektor $\vec{f}$ reprezentuje sumę geometryczną wektorów $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ ułożonych kolejno "koniec do początku".

Krok 2: Określenie długości przekątnej w regularnym sześciokącie.
W regularnym sześciokącie o boku długości $a$:
* Długość boku wynosi $a$.
* Długość krótszej przekątnej (łączącej wierzchołki co drugi) wynosi $\sqrt{3}a$.
* Długość dłuższej przekątnej (łączącej przeciwległe wierzchołki, przechodzącej przez środek) wynosi $2a$.

Wektor $\vec{f}$ na rysunku jest przedstawiony jako dłuższa przekątna sześciokąta (przechodząca przez środek, łącząca przeciwległe wierzchołki, jeśli wektory te byłyby ułożone wzdłuż obwodu).

Krok 3: Obliczenie modułu wektora wynikowego.
Skoro $\vec{f}$ jest wektorem wynikowym, a jego długość w regularnym sześciokącie o boku $a$ wynosi $2a$, to moduł wektora wynikowego wynosi $2a$.

Odpowiedź: Moduł wektora wynikowego wynosi $2a$.

Sprawdzenie opcji:
a) a
b) 4a
c) 2a
d) 3a
e) $\frac{3}{2}$ a

Prawidłowa odpowiedź to c) 2a.

1 Wyjaśnij dokładniej rysunek 1 Pokaż własności sześciokąta

Варианты продолжения:

1 Rozwiąż kolejne zadania 1 Zastosuj w praktyce