Привет! Сейчас помогу решить задачу.

Задание 3

Дано:

• $MN = 36$
• $\angle M = 30^\circ$
• $KP \perp MN$
• $NK \perp KM$

Найти:

• $MP$
• $PN$

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKN$. В нём $\angle M = 30^\circ$. Известно, что катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, $KN = \frac{1}{2}MN$.

2. Вычислим длину $KN$:
   $KN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KPN$. Обозначим $MP = x$, тогда $PN = MN - MP = 36 - x$.

4. В прямоугольном треугольнике $MKN$ можно найти $MK$ по теореме Пифагора:
   $MK = \sqrt{MN^2 - KN^2} = \sqrt{36^2 - 18^2} = \sqrt{1296 - 324} = \sqrt{972} = 18\sqrt{3}$

5. Рассмотрим треугольники $MKN$ и $KPN$. Угол $M$ общий, а углы $KPN$ и $MKN$ прямые. Значит, треугольники подобны.

6. Запишем отношение сторон из подобия треугольников $MKN$ и $KPN$:
   $\frac{MP}{KN} = \frac{KN}{PN}$
   $\frac{x}{18} = \frac{18}{36-x}$

7. Решим уравнение:
   $x(36-x) = 18 \cdot 18$
   $36x - x^2 = 324$
   $x^2 - 36x + 324 = 0$

8. Решим квадратное уравнение. Заметим, что это полный квадрат:
   $(x - 18)^2 = 0$
   $x = 18$

9. Таким образом, $MP = 18$, а $PN = 36 - 18 = 18$.

Ответ:

$MP = 18$, $PN = 18$