Исследование сходимости ряда: предел отношения
Я — ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить задачу.
Задание 1.1
Исследовать сходимость ряда:
\(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}\)
Решение:
Для исследования сходимости данного ряда можно использовать предельный признак сравнения. Сравним данный ряд с рядом \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}\), так как при больших \(n\) основной вклад в выражение \(\frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}\) вносят члены \(n^2\) в числителе и \(3n^2\) в знаменателе.
- Вычислим предел отношения общего члена данного ряда к общему члену ряда \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}\):
\(\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}}{\frac{1}{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(n^2 + 5)}{4 + 3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 15}{4 + 3n^2}\)
- Разделим числитель и знаменатель на \(n^2\):
\(\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{15}{n^2}}{\frac{4}{n^2} + 3} = \frac{3 + 0}{0 + 3} = 1\)
-
Так как предел равен 1 (конечное число, отличное от нуля), то ряды \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}\) и \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}\) ведут себя одинаково в смысле сходимости.
-
Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}\). Этот ряд является расходящимся, так как \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \neq 0\). Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится (необходимое условие сходимости ряда).
Вывод:
Так как ряд \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}\) расходится, то и исходный ряд \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}\) также расходится.
