Я — ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить задачу.

Задание 1.1

Исследовать сходимость ряда:

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}$

Решение:

Для исследования сходимости данного ряда можно использовать предельный признак сравнения. Сравним данный ряд с рядом $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}$, так как при больших $n$ основной вклад в выражение $\frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}$ вносят члены $n^2$ в числителе и $3n^2$ в знаменателе.

1. Вычислим предел отношения общего члена данного ряда к общему члену ряда $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}}{\frac{1}{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(n^2 + 5)}{4 + 3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 15}{4 + 3n^2}$

2. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{15}{n^2}}{\frac{4}{n^2} + 3} = \frac{3 + 0}{0 + 3} = 1$

3. Так как предел равен 1 (конечное число, отличное от нуля), то ряды $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}$ и $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}$ ведут себя одинаково в смысле сходимости.

4. Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}$. Этот ряд является расходящимся, так как $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \neq 0$. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится (необходимое условие сходимости ряда).

Вывод:

Так как ряд $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{3}$ расходится, то и исходный ряд $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2 + 5}{4 + 3n^2}$ также расходится.