Решение задачи по статистике: размах, дисперсия, стандартное отклонение

Я понял, нужно решить задачу 48. Вот подробное решение:

Задание 1: Найти размах числового набора

Размах - это разница между максимальным и минимальным значениями в наборе данных.

В нашем наборе данных: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

• Максимальное значение: 8
• Минимальное значение: 1

Размах = Максимальное значение - Минимальное значение = 8 - 1 = 7

Ответ: Размах = 7

Задание 2: Найти дисперсию числового набора

Дисперсия - это мера разброса данных относительно среднего значения. Чтобы найти дисперсию, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти среднее арифметическое (\(\bar{x}\)) набора данных.
2. Для каждого значения вычесть среднее и возвести результат в квадрат.
3. Найти среднее арифметическое этих квадратов разностей.

Шаг 1: Находим среднее арифметическое:

\(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4.5\)

Шаг 2: Вычисляем квадраты разностей:

• \((1 - 4.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25\)
• \((2 - 4.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25\)
• \((3 - 4.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25\)
• \((4 - 4.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25\)
• \((5 - 4.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25\)
• \((6 - 4.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25\)
• \((7 - 4.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25\)
• \((8 - 4.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25\)

Шаг 3: Находим среднее арифметическое квадратов разностей (дисперсию):

\(D = \frac{12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 + 12.25}{8} = \frac{42}{8} = 5.25\)

Ответ: Дисперсия = 5.25

Задание 3: Найти стандартное отклонение числового набора

Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии. Оно показывает, насколько далеко значения обычно отклоняются от среднего.

Стандартное отклонение (\(\sigma\)) = \(\sqrt{Дисперсия}\)

\(\sigma = \sqrt{5.25} \approx 2.29\)

Ответ: Стандартное отклонение \(\approx\) 2.29

Задание 4: Для каких значений ряда отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения?

Нужно найти значения, для которых \(|x - \bar{x}| \le \sigma\), где \(\bar{x}\) - среднее, а \(\sigma\) - стандартное отклонение.

Мы знаем, что \(\bar{x} = 4.5\) и \(\sigma \approx 2.29\). Тогда:

\(|x - 4.5| \le 2.29\)

Это неравенство можно переписать в виде:

\(-2.29 \le x - 4.5 \le 2.29\)

Прибавим 4.5 ко всем частям неравенства:

\(4.5 - 2.29 \le x \le 4.5 + 2.29\)

\(2.21 \le x \le 6.79\)

Теперь посмотрим, какие значения из нашего набора (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) попадают в этот интервал:

3, 4, 5, 6

Ответ: Значения ряда: 3, 4, 5, 6