Решение матричного уравнения онлайн

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить это матричное уравнение.

Задание 1

Решим матричное уравнение:

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 6 & 4 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 34 & 42 \\ 33 & 46 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)

Обозначим матрицу \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 6 & 4 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\) и матрицу \(B = \begin{pmatrix} 34 & 42 \\ 33 & 46 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\). Тогда уравнение можно записать как \(AX = B\). Чтобы найти матрицу \(X\), нужно умножить обе части уравнения слева на обратную матрицу \(A^{-1}\):

\(A^{-1}AX = A^{-1}B\)
\(IX = A^{-1}B\)
\(X = A^{-1}B\)

Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и умножить её на матрицу \(B\).

1. Найдём определитель матрицы A:

\(det(A) = 1(4 \cdot 0 - 3 \cdot 2) - 1(6 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) + 6(6 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) = 1(-6) - 1(3) + 6(12 + 4) = -6 - 3 + 6(16) = -9 + 96 = 87\)

2. Найдём матрицу алгебраических дополнений:

\(C_{11} = (4 \cdot 0 - 3 \cdot 2) = -6\)
\(C_{12} = -(6 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) = -3\)
\(C_{13} = (6 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) = 12 + 4 = 16\)
\(C_{21} = -(1 \cdot 0 - 6 \cdot 2) = -(-12) = 12\)
\(C_{22} = (1 \cdot 0 - 6 \cdot (-1)) = 6\)
\(C_{23} = -(1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -(2 + 1) = -3\)
\(C_{31} = (1 \cdot 3 - 6 \cdot 4) = 3 - 24 = -21\)
\(C_{32} = -(1 \cdot 3 - 6 \cdot 6) = -(3 - 36) = 33\)
\(C_{33} = (1 \cdot 4 - 1 \cdot 6) = 4 - 6 = -2\)

Матрица алгебраических дополнений:

\(C = \begin{pmatrix} -6 & -3 & 16 \\ 12 & 6 & -3 \\ -21 & 33 & -2 \end{pmatrix}\)

3. Найдём транспонированную матрицу алгебраических дополнений (присоединённую матрицу):

\(adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -6 & 12 & -21 \\ -3 & 6 & 33 \\ 16 & -3 & -2 \end{pmatrix}\)

4. Найдём обратную матрицу \(A^{-1}\):

\(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A) = \frac{1}{87} \begin{pmatrix} -6 & 12 & -21 \\ -3 & 6 & 33 \\ 16 & -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6/87 & 12/87 & -21/87 \\ -3/87 & 6/87 & 33/87 \\ 16/87 & -3/87 & -2/87 \end{pmatrix}\)

5. Найдём матрицу X:

\(X = A^{-1}B = \frac{1}{87} \begin{pmatrix} -6 & 12 & -21 \\ -3 & 6 & 33 \\ 16 & -3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 34 & 42 \\ 33 & 46 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \frac{1}{87} \begin{pmatrix} -204 + 396 - 105 & -252 + 552 - 126 \\ -102 + 198 + 165 & -126 + 276 + 198 \\ 544 - 99 - 10 & 672 - 138 - 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{87} \begin{pmatrix} 87 & 174 \\ 261 & 348 \\ 435 & 522 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)

Ответ:

\(X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)