Решение квадратного уравнения 4x^2 - 20x + 25 = (3x + 1)^2

Задание 13

Решите уравнение \(4x^2 - 20x + 25 = (3x + 1)^2\).

Решение:

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
   \((3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1\).

2. Перепишем уравнение с раскрытыми скобками:
   \(4x^2 - 20x + 25 = 9x^2 + 6x + 1\).

3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Для этого вычтем \(4x^2\), прибавим \(20x\) и вычтем \(25\) из обеих частей уравнения:
   \(0 = 9x^2 - 4x^2 + 6x + 20x + 1 - 25\)
   \(0 = 5x^2 + 26x - 24\).

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение: \(5x^2 + 26x - 24 = 0\).
   Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):
   \(a = 5\), \(b = 26\), \(c = -24\).
   \(D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24)\)
   \(D = 676 + 480\)
   \(D = 1156\).

5. Найдем корень из дискриминанта:
   \(\sqrt{D} = \sqrt{1156}\).
   Проверим, что \(30^2 = 900\) и \(40^2 = 1600\). Число оканчивается на 6, значит, корень может оканчиваться на 4 или 6. Попробуем \(34^2 = (30+4)^2 = 900 + 2*30*4 + 16 = 900 + 240 + 16 = 1156\).
   Итак, \(\sqrt{1156} = 34\).

6. Найдем корни квадратного уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
   \(x_1 = \frac{-26 + 34}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0.8\).
   \(x_2 = \frac{-26 - 34}{2 \cdot 5} = \frac{-60}{10} = -6\).

Ответ: \(x = 0.8\), \(x = -6\).