Упрощение алгебраических выражений: вычитание дробей

Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эти задания.

Задание 2a

Выражение: \(\frac{3b+7}{3b} - \frac{b^2-5}{b^2}\)

1. Приведение к общему знаменателю: Общий знаменатель для \(3b\) и \(b^2\) будет \(3b^2\).

2. Преобразование дробей:

   • Первую дробь умножаем на \(\frac{b}{b}\): \(\frac{(3b+7) \cdot b}{3b \cdot b} = \frac{3b^2 + 7b}{3b^2}\)
   • Вторую дробь умножаем на \(\frac{3}{3}\): \(\frac{(b^2-5) \cdot 3}{b^2 \cdot 3} = \frac{3b^2 - 15}{3b^2}\)

3. Вычитание дробей:
   \(\frac{3b^2 + 7b}{3b^2} - \frac{3b^2 - 15}{3b^2} = \frac{(3b^2 + 7b) - (3b^2 - 15)}{3b^2}\)

4. Раскрытие скобок и упрощение:
   \(\frac{3b^2 + 7b - 3b^2 + 15}{3b^2} = \frac{7b + 15}{3b^2}\)

Ответ: \(\frac{7b + 15}{3b^2}\)

Задание 2б

Выражение: \(\frac{1}{4p+q} - \frac{1}{4p-q}\)

1. Приведение к общему знаменателю: Общий знаменатель для \((4p+q)\) и \((4p-q)\) будет \((4p+q)(4p-q)\).

2. Преобразование дробей:

   • Первую дробь умножаем на \(\frac{4p-q}{4p-q}\): \(\frac{1 \cdot (4p-q)}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{4p-q}{(4p+q)(4p-q)}\)
   • Вторую дробь умножаем на \(\frac{4p+q}{4p+q}\): \(\frac{1 \cdot (4p+q)}{(4p-q)(4p+q)} = \frac{4p+q}{(4p+q)(4p-q)}\)

3. Вычитание дробей:
   \(\frac{4p-q}{(4p+q)(4p-q)} - \frac{4p+q}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{(4p-q) - (4p+q)}{(4p+q)(4p-q)}\)

4. Раскрытие скобок и упрощение:
   \(\frac{4p - q - 4p - q}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{-2q}{(4p+q)(4p-q)}\)

5. Упрощение знаменателя (разность квадратов):
   \((4p+q)(4p-q) = (4p)^2 - q^2 = 16p^2 - q^2\)

6. Окончательный вид:
   \(\frac{-2q}{16p^2 - q^2}\)

Ответ: \(\frac{-2q}{16p^2 - q^2}\)

Homiwork: Конечно, вот альтернативные решения для этих заданий.

Задание 2a (Альтернативное решение)

Выражение: \(\frac{3b+7}{3b} - \frac{b^2-5}{b^2}\)

1. Разделение первой дроби: Разделим первую дробь на две части:
   \(\frac{3b+7}{3b} = \frac{3b}{3b} + \frac{7}{3b} = 1 + \frac{7}{3b}\)

2. Преобразование выражения: Теперь выражение выглядит так:
   \(1 + \frac{7}{3b} - \frac{b^2-5}{b^2}\)

3. Приведение к общему знаменателю: Общий знаменатель для \(\frac{7}{3b}\) и \(\frac{b^2-5}{b^2}\) будет \(3b^2\).

4. Преобразование дробей:

   • \(\frac{7}{3b}\) умножаем на \(\frac{b}{b}\): \(\frac{7b}{3b^2}\)
   • \(\frac{b^2-5}{b^2}\) умножаем на \(\frac{3}{3}\): \(\frac{3(b^2-5)}{3b^2} = \frac{3b^2-15}{3b^2}\)

5. Вычитание дробей:
   \(1 + \frac{7b}{3b^2} - \frac{3b^2-15}{3b^2} = 1 + \frac{7b - (3b^2 - 15)}{3b^2}\)

6. Упрощение:
   \(1 + \frac{7b - 3b^2 + 15}{3b^2} = \frac{3b^2 + 7b - 3b^2 + 15}{3b^2} = \frac{7b + 15}{3b^2}\)

Ответ: \(\frac{7b + 15}{3b^2}\)

Задание 2б (Альтернативное решение)

Выражение: \(\frac{1}{4p+q} - \frac{1}{4p-q}\)

1. Приведение к общему знаменателю: Общий знаменатель для \((4p+q)\) и \((4p-q)\) будет \((4p+q)(4p-q)\).

2. Преобразование дробей:

   • Первую дробь умножаем на \(\frac{4p-q}{4p-q}\): \(\frac{1 \cdot (4p-q)}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{4p-q}{(4p+q)(4p-q)}\)
   • Вторую дробь умножаем на \(\frac{4p+q}{4p+q}\): \(\frac{1 \cdot (4p+q)}{(4p-q)(4p+q)} = \frac{4p+q}{(4p+q)(4p-q)}\)

3. Вычитание дробей:
   \(\frac{4p-q}{(4p+q)(4p-q)} - \frac{4p+q}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{(4p-q) - (4p+q)}{(4p+q)(4p-q)}\)

4. Раскрытие скобок и упрощение:
   \(\frac{4p - q - 4p - q}{(4p+q)(4p-q)} = \frac{-2q}{(4p+q)(4p-q)}\)

5. Упрощение знаменателя (разность квадратов):
   \((4p+q)(4p-q) = (4p)^2 - q^2 = 16p^2 - q^2\)

6. Окончательный вид:
   \(\frac{-2q}{16p^2 - q^2}\)

Ответ: \(\frac{-2q}{16p^2 - q^2}\)

Сравнение решений

• Задание 2a:
  • Первый способ: сразу приводим к общему знаменателю и вычитаем.
  • Второй способ: разделяем первую дробь на части, что может упростить вычисления, если это возможно.
• Задание 2б:
  • Оба способа идентичны, так как здесь нет очевидных упрощений, которые можно было бы сделать в начале.

Оба метода приводят к одинаковым результатам. Выбор метода зависит от конкретного примера и личных предпочтений.