Решение дробно-рационального неравенства с квадратом и сокращением дроби

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Задание 1

Неравенство:
$$ \frac{(x+1)^2 (x-6)}{x^2 - 5x - 6} \ge 0 $$

Шаг 1: Разложим знаменатель на множители.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.
Используем теорему Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.
Таким образом, знаменатель можно разложить как: $x^2 - 5x - 6 = (x-6)(x+1)$.

Шаг 2: Подставим разложенный знаменатель в неравенство.
$$ \frac{(x+1)^2 (x-6)}{(x-6)(x+1)} \ge 0 $$

Шаг 3: Сократим дробь, учитывая ограничения.
При сокращении дроби важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю.
Знаменатель $(x-6)(x+1)$ равен нулю при $x=6$ или $x=-1$.
Следовательно, $x \neq 6$ и $x \neq -1$.

После сокращения получаем:
$$ (x+1) \ge 0, \quad \text{при условии, что } x \neq 6 \text{ и } x \neq -1 $$

Шаг 4: Решим полученное неравенство.
$x+1 \ge 0$
$x \ge -1$

Шаг 5: Учтем ограничения.
Мы получили, что $x \ge -1$. Однако, мы должны исключить значения $x=6$ и $x=-1$, так как при этих значениях знаменатель исходной дроби равен нулю.

$x \neq -1$: Это ограничение уже учтено, так как неравенство $(x+1) \ge 0$ включает $x=-1$, но в исходной дроби знаменатель обращается в ноль. Поэтому, мы должны строго исключить $x=-1$.
$x \neq 6$: Это значение находится в интервале $x \ge -1$, поэтому его также нужно исключить.

Таким образом, объединяя $x \ge -1$ с условиями $x \neq -1$ и $x \neq 6$, получаем:
$x > -1$ и $x \neq 6$.

Ответ:
Решением неравенства является объединение интервалов: $(-1; 6) \cup (6; +\infty)$.