Расчет необходимого количества рабочих для выполнения задачи в срок

Um diese Aufgabe zu lösen, können wir die folgende Formel verwenden, die auf der Annahme basiert, dass die Arbeitsmenge konstant ist und die Arbeitsgeschwindigkeit jedes Arbeiters gleich ist:

Arbeit = Arbeiter × Tage

Zuerst berechnen wir die Gesamtarbeit, die für die Kanalisationsarbeiten erforderlich ist, basierend auf den ursprünglichen Bedingungen:

Arbeit = 18 Arbeiter × 5 Tage = 90 Arbeiter-Tage

Nun soll dieselbe Arbeit in 3 Tagen erledigt werden. Sei \(x\) die Anzahl der Arbeiter, die dafür benötigt werden:

90 Arbeiter-Tage = \(x\) Arbeiter × 3 Tage

Um \(x\) zu berechnen, teilen wir die Gesamtarbeit durch die neue Anzahl von Tagen:

\(x\) = \(\frac{90 \text{ Arbeiter-Tage}}{3 \text{ Tage}}\)
\(x\) = 30 Arbeiter

Das bedeutet, dass insgesamt 30 Arbeiter benötigt werden, um die Arbeit in 3 Tagen zu erledigen.

Da bereits 18 Arbeiter vorhanden sind, müssen noch weitere Arbeiter eingestellt werden. Die Anzahl der zusätzlich einzustellenden Arbeiter beträgt:

Zusätzliche Arbeiter = Benötigte Arbeiter - Vorhandene Arbeiter
Zusätzliche Arbeiter = 30 Arbeiter - 18 Arbeiter
Zusätzliche Arbeiter = 12 Arbeiter

Antwort: Es müssen noch 12 Arbeiter eingestellt werden.

Diese Art von Problemen, bei denen die Menge der Arbeit konstant ist und die Anzahl der Arbeiter oder die benötigte Zeit variiert, sind klassische Beispiele für umgekehrte Proportionalität.

Umgekehrte Proportionalität

Bei der umgekehrten Proportionalität gilt: Wenn eine Größe steigt, sinkt die andere Größe im gleichen Verhältnis, sodass ihr Produkt konstant bleibt. Im Kontext von Arbeitsaufgaben bedeutet dies:

• Mehr Arbeiter führen zu weniger Zeit für die gleiche Arbeit.
• Weniger Arbeiter führen zu mehr Zeit für die gleiche Arbeit.

Die grundlegende Beziehung ist:

\(Arbeit = \text{Konstante}\)

Und diese Arbeit kann ausgedrückt werden als:

\(Arbeit = \text{Anzahl der Arbeiter} \times \text{Benötigte Zeit}\)

Daher gilt:

\(\text{Anzahl der Arbeiter}_1 \times \text{Zeit}_1 = \text{Anzahl der Arbeiter}_2 \times \text{Zeit}_2\)

Anwendung auf das Beispiel

In Ihrem Beispiel:

• \(\text{Anzahl der Arbeiter}_1 = 18\)
• \(\text{Zeit}_1 = 5\) Tage
• \(\text{Zeit}_2 = 3\) Tage
• \(\text{Anzahl der Arbeiter}_2 = x\) (die gesuchte Anzahl)

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

\(18 \text{ Arbeiter} \times 5 \text{ Tage} = x \text{ Arbeiter} \times 3 \text{ Tage}\)
\(90 \text{ Arbeiter-Tage} = 3x \text{ Arbeiter-Tage}\)

Um \(x\) zu finden, teilen wir durch 3 Tage:

\(x = \frac{90 \text{ Arbeiter-Tage}}{3 \text{ Tage}} = 30 \text{ Arbeiter}\)

Dies bestätigt, dass 30 Arbeiter benötigt werden. Die Differenz zu den bereits vorhandenen 18 Arbeitern ergibt die Anzahl der neu einzustellenden Arbeiter (30 - 18 = 12).

Weitere Beispiele für umgekehrte Proportionalität

1. Fahrgeschwindigkeit und Reisezeit: Wenn Sie eine bestimmte Strecke mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zurücklegen, ist die Zeit, die Sie benötigen, umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit. Eine höhere Geschwindigkeit bedeutet weniger Zeit, eine niedrigere Geschwindigkeit bedeutet mehr Zeit.
   \(Strecke = \text{Geschwindigkeit} \times \text{Zeit}\) (Die Strecke ist konstant)

2. Füllmenge und Anzahl der Behälter: Wenn Sie eine bestimmte Gesamtmenge einer Flüssigkeit abfüllen und die Größe der einzelnen Behälter ändern, ist die Anzahl der benötigten Behälter umgekehrt proportional zur Größe jedes Behälters. Größere Behälter bedeuten weniger Behälter, kleinere Behälter bedeuten mehr Behälter.
   \(Gesamtmenge = \text{Größe des Behälters} \times \text{Anzahl der Behälter}\)

Diese Art von Problemen ist sehr verbreitet in Mathematik und Physik und hilft, das Verständnis für proportionale Zusammenhänge zu vertiefen.

Diese Aufgabe ist ebenfalls ein Beispiel für mehrere proportionale Zusammenhänge, bei denen wir die umgekehrte und direkte Proportionalität kombinieren müssen.

Lassen Sie uns die gegebenen Informationen aufschlüsseln:

• Wolle: 80 kg
• Tuchlänge: 400 m
• Tuchbreite: 120 cm

Wir wollen wissen, wie viele Meter Tuch (\(x\)) wir erhalten unter folgenden Bedingungen:

• Wolle: 150 kg
• Tuchbreite: 90 cm

Wir können dies Schritt für Schritt lösen, indem wir die Auswirkung jeder Änderung einzeln betrachten.

Schritt 1: Berechnung der produzierten Tuchmenge pro Kilogramm Wolle

Zuerst betrachten wir, wie viel Tuch wir aus einer bestimmten Menge Wolle gewinnen können. Dies ist eine direkte Proportionalität: Mehr Wolle ergibt mehr Tuch.

• Aus 80 kg Wolle erhalten wir 400 m Tuch (bei 120 cm Breite).
• Aus 1 kg Wolle erhalten wir \(\frac{400 \text{ m}}{80 \text{ kg}} = 5 \text{ m/kg}\) Tuch (bei 120 cm Breite).

Schritt 2: Berücksichtigung der veränderten Wollmenge

Nun verwenden wir diese Rate, um zu berechnen, wie viel Tuch wir aus 150 kg Wolle erhalten würden, wenn die Breite gleich bliebe (120 cm):

• Aus 150 kg Wolle erhalten wir \(150 \text{ kg} \times 5 \text{ m/kg} = 750 \text{ m}\) Tuch (bei 120 cm Breite).

Schritt 3: Berücksichtigung der veränderten Tuchbreite

Jetzt kommt die umgekehrte Proportionalität ins Spiel. Wenn die Breite des Tuches schmaler wird, müssen wir mehr Länge produzieren, um die gleiche Menge an "Tuchfläche" oder die gleiche Menge an verarbeiteter Wolle zu erhalten.

• Mit einer Breite von 120 cm erhalten wir 750 m Tuch.
• Wir wollen die Breite auf 90 cm reduzieren.

Die Beziehung zwischen Breite und Länge bei konstanter Wollmenge ist:

Breite\(_1 \times \text{Länge}_1 = \text{Breite}_2 \times \text{Länge}_2\)

Dies liegt daran, dass die "Fläche" des produzierten Tuches (oder die Menge der verarbeiteten Faser) proportional zur verarbeiteten Wolle ist. Man kann sich die produzierte Tuchmenge als eine "Fläche" von Wolle vorstellen:

\(80 \text{ kg Wolle} \rightarrow 400 \text{ m} \times 120 \text{ cm} = 48000 \text{ m*cm}\) (produktive "Fläche" Wolle)
\(1 \text{ kg Wolle} \rightarrow \frac{48000}{80} = 600 \text{ m*cm}\) (produktive "Fläche" Wolle pro kg)

Oder einfacher ausgedrückt: Die Gesamtfläche des Tuches, die aus einer bestimmten Menge Wolle hergestellt werden kann, ist konstant.

• Ursprüngliche Tuchfläche aus 80 kg Wolle: \(400 \text{ m} \times 1.20 \text{ m} = 0.48 \text{ m}^2\) (oder 48000 cm²)
• Fläche pro kg Wolle: \(\frac{48000 \text{ cm}^2}{80 \text{ kg}} = 600 \text{ cm}^2/\text{kg}\)

Nun haben wir 150 kg Wolle, also die mögliche Fläche ist:

• Gesamtfläche aus 150 kg Wolle: \(150 \text{ kg} \times 600 \text{ cm}^2/\text{kg} = 90000 \text{ cm}^2\)

Diese Fläche soll nun mit einer Breite von 90 cm gewebt werden. Sei \(x\) die Länge:

\(x \text{ cm} \times 90 \text{ cm} = 90000 \text{ cm}^2\)

\(x = \frac{90000 \text{ cm}^2}{90 \text{ cm}} = 1000 \text{ cm}\)

Ups, hier ist ein Fehler in der Überlegung. Lass uns die Schritte mit der Fläche neu durchgehen:

Alternative Methode (Flächenbetrachtung):

Die Menge der Wolle ist direkt proportional zur Fläche des produzierten Tuches.

• 80 kg Wolle ergeben eine Tuchfläche von \(400 \text{ m} \times 1.20 \text{ m} = 0.48 \text{ m}^2\).
• Wir wollen wissen, wie viel Fläche 150 kg Wolle ergeben. Dies ist eine direkte Proportionalität.
  \(\frac{\text{Fläche}_1}{\text{Wolle}_1} = \frac{\text{Fläche}_2}{\text{Wolle}_2}\)
  \(\frac{0.48 \text{ m}^2}{80 \text{ kg}} = \frac{\text{Fläche}_2}{150 \text{ kg}}\)
  Fläche\(_2 = \frac{0.48 \text{ m}^2 \times 150 \text{ kg}}{80 \text{ kg}} = \frac{72}{80} \text{ m}^2 = 0.9 \text{ m}^2\)

Diese Fläche von \(0.9 \text{ m}^2\) soll nun mit einer Breite von 90 cm (also 0.9 m) gewebt werden. Sei \(x\) die Länge in Metern:

Fläche\(_2 = \text{Länge}_2 \times \text{Breite}_2\)
\(0.9 \text{ m}^2 = x \text{ m} \times 0.9 \text{ m}\)

Nun können wir \(x\) berechnen:

\(x = \frac{0.9 \text{ m}^2}{0.9 \text{ m}} = 1 \text{ m}\)

Das ist immer noch nicht richtig. Lass uns die ursprüngliche Schlussfolgerung von Schritt 2 nochmal prüfen, die einfacher ist:

Zurück zu Schritt 2:
Aus 150 kg Wolle erhalten wir 750 m Tuch (wenn die Breite 120 cm bliebe).

Jetzt betrachten wir die Breite:
* Breite 1 = 120 cm
* Breite 2 = 90 cm
* Länge 1 (für 150 kg bei 120 cm Breite) = 750 m
* Länge 2 (für 150 kg bei 90 cm Breite) = ?

Hier haben wir eine umgekehrte Proportionalität zwischen Breite und Länge, wenn die Menge der Wolle (und damit die "Menge" des produzierten Stoffes) konstant ist.

Breite\(_1 \times \text{Länge}_1 = \text{Breite}_2 \times \text{Länge}_2\)
\(120 \text{ cm} \times 750 \text{ m} = 90 \text{ cm} \times \text{Länge}_2\)

Länge\(_2 = \frac{120 \text{ cm} \times 750 \text{ m}}{90 \text{ cm}}\)
Länge\(_2 = \frac{120}{90} \times 750 \text{ m}\)
Länge\(_2 = \frac{4}{3} \times 750 \text{ m}\)
Länge\(_2 = 4 \times \frac{750}{3} \text{ m}\)
Länge\(_2 = 4 \times 250 \text{ m}\)
Länge\(_2 = 1000 \text{ m}\)

Antwort: Aus 150 kg Wolle ergeben sich 1000 m Tuch von 90 cm Breite.

Diese Aufgabe ist ebenfalls ein klassisches Beispiel für mehrere proportionale Zusammenhänge, bei denen wir direkte und umgekehrte Proportionalität kombinieren.

Lassen Sie uns die gegebenen Informationen analysieren:

• Verkäufer: 7
• Zeit: 8 Stunden
• Aufgenommene Artikel: 5.600

Wir wollen wissen, wie lange (\(x\) Stunden) benötigt werden:

• Verkäufer: 9
• Aufgenommene Artikel: 6.300

Wir können die Aufgabe lösen, indem wir zuerst die Rate berechnen, mit der ein einzelner Verkäufer Artikel aufnimmt.

Schritt 1: Berechnung der gesamten "Arbeitsleistung" der ersten Gruppe

Die Gesamtmenge der aufgenommenen Artikel ist das Produkt aus der Anzahl der Verkäufer, der Zeit und der Aufnahmerate pro Verkäufer pro Stunde.

Gesamtartikel = Anzahl Verkäufer × Zeit × Rate (Artikel pro Verkäufer pro Stunde)

Wir können auch sagen, dass die Gesamtarbeit (Aufnahme von Artikeln) proportional zur Anzahl der Verkäufer und zur benötigten Zeit ist.

Schritt 2: Berechnung der Aufnahmerate pro Verkäufer

Zuerst berechnen wir, wie viele Artikel alle 7 Verkäufer zusammen pro Stunde aufnehmen:

Rate (alle 7 Verkäufer) = \(\frac{\text{Gesamtarikel}}{\text{Zeit}} = \frac{5.600 \text{ Artikel}}{8 \text{ Stunden}} = 700 \text{ Artikel/Stunde}\)

Nun berechnen wir die Rate pro einzelnem Verkäufer:

Rate (pro Verkäufer) = \(\frac{\text{Rate (alle 7 Verkäufer)}}{\text{Anzahl Verkäufer}} = \frac{700 \text{ Artikel/Stunde}}{7 \text{ Verkäufer}} = 100 \text{ Artikel/Verkäufer/Stunde}\)

Das bedeutet, jeder Verkäufer nimmt im Durchschnitt 100 Artikel pro Stunde auf.

Schritt 3: Berechnung der benötigten Zeit für die zweite Gruppe

Jetzt wissen wir, dass 9 Verkäufer arbeiten und jeder 100 Artikel pro Stunde aufnehmen kann. Wir wollen insgesamt 6.300 Artikel aufnehmen.

Die Gesamtrate der neuen Gruppe von 9 Verkäufern ist:

Neue Rate (alle 9 Verkäufer) = 9 Verkäufer \(\times 100 \text{ Artikel/Verkäufer/Stunde} = 900 \text{ Artikel/Stunde}\)

Um nun die benötigte Zeit (\(x\)) für die Aufnahme von 6.300 Artikeln zu berechnen, verwenden wir die Formel:

Zeit = \(\frac{\text{Gesamtarikel}}{\text{Neue Rate}}\)

\(x = \frac{6.300 \text{ Artikel}}{900 \text{ Artikel/Stunde}}\)
\(x = 7 \text{ Stunden}\)

Antwort: 9 Verkäufer benötigen 7 Stunden für die Aufnahme von 6.300 Artikeln.

Alternative Methode (Proportionale Beziehungen):

Wir können die Beziehungen auch direkt aufstellen:

Die Anzahl der aufgenommenen Artikel (\(A\)) ist direkt proportional zur Anzahl der Verkäufer (\(V\)) und zur Zeit (\(Z\)).
\(A \propto V \times Z\)
Oder: \(A = k \times V \times Z\), wobei \(k\) die Aufnahmerate pro Verkäufer pro Stunde ist.

Aus den gegebenen Informationen (Gruppe 1):
\(5.600 = k \times 7 \times 8\)
\(5.600 = k \times 56\)
\(k = \frac{5.600}{56} = 100\) Artikel/Verkäufer/Stunde.

Nun verwenden wir diesen konstanten Wert \(k\) für die zweite Gruppe:
\(6.300 = 100 \times 9 \times x\)
\(6.300 = 900 \times x\)
\(x = \frac{6.300}{900} = 7\) Stunden.

Beide Methoden führen zum selben Ergebnis.