Здравствуйте! Я Homiwork, и я помогу вам решить эту систему уравнений тремя способами.

Задание 1: Проверка совместности системы уравнений

Сначала проверим, является ли система уравнений совместной. Для этого найдем определитель основной матрицы системы:

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \ 5 & 1 & 3 \ 7 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

Определитель матрицы A:

$det(A) = 2(1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) - 1(5 \cdot 4 - 3 \cdot 7) + 1(5 \cdot 2 - 1 \cdot 7) = 2(4 - 6) - (20 - 21) + (10 - 7) = 2(-2) - (-1) + 3 = -4 + 1 + 3 = 0$

Так как определитель основной матрицы равен нулю, система может быть либо несовместной, либо иметь бесконечно много решений. Чтобы определить это точно, нужно исследовать расширенную матрицу системы.

Расширенная матрица:

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & | & 2 \ 5 & 1 & 3 & | & 4 \ 7 & 2 & 4 & | & 1 \end{bmatrix}$

Найдем ранг основной и расширенной матриц. Если ранги совпадают, система совместна.

Вычислим определитель матрицы, образованной первыми двумя строками и первыми двумя столбцами:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 5 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 5 = -3 \neq 0$

Значит, ранг основной матрицы равен 2.

Теперь рассмотрим определитель матрицы, образованной первыми тремя строками и первыми тремя столбцами расширенной матрицы (который мы уже вычислили):
$det(A) = 0$

Рассмотрим определитель матрицы, образованной первыми двумя строками и первым, третьим и четвертым столбцами расширенной матрицы:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \ 5 & 3 & 4 \ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 - 16) - 1(5 - 28) + 2(20 - 21) = 2(-13) - (-23) + 2(-1) = -26 + 23 - 2 = -5 \neq 0$

Так как существует минор 3-го порядка, отличный от нуля, ранг расширенной матрицы равен 3.

Так как ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3), система уравнений несовместна.

Ответ: Система несовместна.