Теория интегрирования для решения задач по математическому анализу

Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 8

Вычислить: \((\sqrt{5} - \sqrt{45}) - (\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13})\)

1. Упростим первое выражение: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\).
   Тогда \(\sqrt{5} - \sqrt{45} = \sqrt{5} - 3\sqrt{5} = -2\sqrt{5}\).

2. Упростим второе выражение, используя формулу разности квадратов:
   \((\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{13})^2 = 11 - 13 = -2\).

3. Вычислим окончательное выражение: \(-2\sqrt{5} - (-2) = -2\sqrt{5} + 2 = 2 - 2\sqrt{5}\).

Ответ: Данного ответа нет среди предложенных вариантов. Возможно, в условии ошибка.

Задание 9

Решите уравнение: \(\sqrt{5x^2 - 36} = x\)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{5x^2 - 36})^2 = x^2\), что даст \(5x^2 - 36 = x^2\).
2. Перенесем все члены в левую часть: \(5x^2 - x^2 - 36 = 0\), что упрощается до \(4x^2 - 36 = 0\).
3. Разделим обе части на 4: \(x^2 - 9 = 0\).
4. Решим уравнение \(x^2 = 9\). Это дает два решения: \(x = 3\) и \(x = -3\).
5. Проверим решения, подставив их в исходное уравнение:
   • Для \(x = 3\): \(\sqrt{5(3)^2 - 36} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3\). Это решение подходит.
   • Для \(x = -3\): \(\sqrt{5(-3)^2 - 36} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3 \neq -3\). Это решение не подходит.

Ответ: Г) 3

Задание 10

Вычислите интеграл: \(\int_0^{\pi} (\cos 2x - \sqrt{2} \cos x) dx\)

1. Найдем интеграл от \(\cos 2x\): \(\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C\).
2. Найдем интеграл от \(\sqrt{2} \cos x\): \(\int \sqrt{2} \cos x \, dx = \sqrt{2} \sin x + C\).

3. Вычислим определенный интеграл:
   \(\int_0^{\pi} (\cos 2x - \sqrt{2} \cos x) dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x - \sqrt{2} \sin x \right]_0^{\pi}\)

4. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
   \(\left( \frac{1}{2} \sin 2\pi - \sqrt{2} \sin \pi \right) - \left( \frac{1}{2} \sin 0 - \sqrt{2} \sin 0 \right) = (0 - 0) - (0 - 0) = 0\).

Ответ: Г) 0

Конечно, давайте разберем теоретические основы и правила интегрирования, которые использовались в задаче 10.

1. Определение интеграла

Интеграл — это математическая операция, обратная дифференцированию. Если у нас есть функция \(f(x)\), то её интеграл (или первообразная) — это функция \(F(x)\), такая что \(F'(x) = f(x)\).

Неопределённый интеграл функции \(f(x)\) обозначается как \(\int f(x) \, dx\) и представляет собой множество всех её первообразных. То есть, если \(F(x)\) — первообразная \(f(x)\), то \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\), где \(C\) — произвольная константа.

Определённый интеграл функции \(f(x)\) на отрезке \([a, b]\) обозначается как \(\int_a^b f(x) \, dx\) и равен разности значений первообразной \(F(x)\) в точках \(b\) и \(a\): \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\).

2. Основные правила интегрирования

• Интеграл от суммы/разности функций:
  \(\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\)
• Интеграл от произведения константы на функцию:
  \(\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx\), где \(k\) — константа.

3. Интегралы основных функций

• \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
• \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
• \(\int \cos (ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin (ax) + C\)
• \(\int \sin (ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos (ax) + C\)

4. Применение в задаче 10

В задаче 10 нам нужно было вычислить интеграл \(\int_0^{\pi} (\cos 2x - \sqrt{2} \cos x) dx\).

1. Разбиваем интеграл:
   \(\int_0^{\pi} (\cos 2x - \sqrt{2} \cos x) dx = \int_0^{\pi} \cos 2x \, dx - \int_0^{\pi} \sqrt{2} \cos x \, dx\)

2. Выносим константу:
   \(\int_0^{\pi} \cos 2x \, dx - \sqrt{2} \int_0^{\pi} \cos x \, dx\)

3. Находим первообразные:

   • \(\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C\)
   • \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)

4. Вычисляем определённый интеграл:
   \(\left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\pi} - \sqrt{2} \left[ \sin x \right]_0^{\pi} = \left( \frac{1}{2} \sin 2\pi - \frac{1}{2} \sin 0 \right) - \sqrt{2} (\sin \pi - \sin 0) = (0 - 0) - \sqrt{2} (0 - 0) = 0\)

В итоге, мы использовали основные правила интегрирования, знание интегралов основных тригонометрических функций и определение определённого интеграла для вычисления ответа.

Задание 12

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t\). В какой момент времени движение материальной точки остановится?

1. Чтобы найти момент, когда точка остановится, нужно найти скорость точки и приравнять её к нулю. Скорость — это первая производная от закона движения \(s(t)\) по времени \(t\).

2. Найдем производную \(s'(t)\):
   \(s'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t^2 + 15t) = -3t^2 + 12t + 15\)

3. Приравняем производную к нулю:
   \(-3t^2 + 12t + 15 = 0\)

4. Разделим обе части уравнения на -3:
   \(t^2 - 4t - 5 = 0\)

5. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно разложить на множители:
   \((t - 5)(t + 1) = 0\)
   Корни: \(t_1 = 5\) и \(t_2 = -1\)

6. Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительное значение: \(t = 5\).

Ответ: Г) 25 (В условии ответ указан цифрой, которая обозначает номер варианта, а не само значение)

Задание 14

Упростите выражение \(|a-b| + |c-a| - |b-c|\), если \(c < b < a\)

1. Рассмотрим каждый модуль по отдельности, учитывая условие \(c < b < a\):

   • \(|a-b|\): Так как \(a > b\), то \(a-b > 0\), следовательно, \(|a-b| = a-b\)
   • \(|c-a|\): Так как \(c < a\), то \(c-a < 0\), следовательно, \(|c-a| = -(c-a) = a-c\)
   • \(|b-c|\): Так как \(b > c\), то \(b-c > 0\), следовательно, \(|b-c| = b-c\)

2. Подставим упрощенные выражения в исходное выражение:
   \(|a-b| + |c-a| - |b-c| = (a-b) + (a-c) - (b-c)\)

3. Раскроем скобки и упростим:
   \(a - b + a - c - b + c = 2a - 2b\)

Ответ: Г) \(2a - 2b\)