Замена переменной:

Пусть $u = 7 + 2\cos x$. Тогда $du = -2\sin x \, dx$, и $\sin x \, dx = -\frac{1}{2} du$.

Преобразование интеграла:

Заменим в интеграле $\sin x \, dx$ на $-\frac{1}{2} du$ и $7 + 2\cos x$ на $u$:

$\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{7 + 2\cos x}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt[3]{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du$

Вычисление интеграла:

Используем правило интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$-\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Возврат к исходной переменной:

Заменим $u$ на $7 + 2\cos x$:

$-\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} (7 + 2\cos x)^{\frac{2}{3}} + C$

Замена переменной (Substitution):

• Цель: Упростить интеграл, заменив сложную функцию на более простую переменную.
• Выбор замены: Заметим, что производная $\cos x$ равна $-\sin x$, что присутствует в числителе интеграла. Это подсказывает нам сделать замену $u = 7 + 2\cos x$.
• Вычисление дифференциала:
  • $u = 7 + 2\cos x$
  • $du = \frac{d}{dx}(7 + 2\cos x) \, dx = -2\sin x \, dx$
  • Выразим $\sin x \, dx$ через $du$: $\sin x \, dx = -\frac{1}{2} du$

Преобразование интеграла:

• Заменим в исходном интеграле $7 + 2\cos x$ на $u$ и $\sin x \, dx$ на $-\frac{1}{2} du$:

  $\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{7 + 2\cos x}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt[3]{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du$

• Вывод: Исходный интеграл преобразовался в более простой интеграл относительно новой переменной $u$.

Вычисление интеграла:

• Используем правило интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n \neq -1$.

• В нашем случае:

  $-\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

Возврат к исходной переменной:

• Заменим $u$ обратно на $7 + 2\cos x$:

  $-\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} (7 + 2\cos x)^{\frac{2}{3}} + C$