Вычисление интеграла с заменой переменной

Замена переменной:

Пусть \(u = 7 + 2\cos x\). Тогда \(du = -2\sin x \, dx\), и \(\sin x \, dx = -\frac{1}{2} du\).

Преобразование интеграла:

Заменим в интеграле \(\sin x \, dx\) на \(-\frac{1}{2} du\) и \(7 + 2\cos x\) на \(u\):

\(\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{7 + 2\cos x}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt[3]{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du\)

Вычисление интеграла:

Используем правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

\(-\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C\)

Возврат к исходной переменной:

Заменим \(u\) на \(7 + 2\cos x\):

\(-\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} (7 + 2\cos x)^{\frac{2}{3}} + C\)

Замена переменной (Substitution):

• Цель: Упростить интеграл, заменив сложную функцию на более простую переменную.
• Выбор замены: Заметим, что производная \(\cos x\) равна \(-\sin x\), что присутствует в числителе интеграла. Это подсказывает нам сделать замену \(u = 7 + 2\cos x\).
• Вычисление дифференциала:
  • \(u = 7 + 2\cos x\)
  • \(du = \frac{d}{dx}(7 + 2\cos x) \, dx = -2\sin x \, dx\)
  • Выразим \(\sin x \, dx\) через \(du\): \(\sin x \, dx = -\frac{1}{2} du\)

Преобразование интеграла:

• Заменим в исходном интеграле \(7 + 2\cos x\) на \(u\) и \(\sin x \, dx\) на \(-\frac{1}{2} du\):

  \(\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{7 + 2\cos x}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt[3]{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du\)

• Вывод: Исходный интеграл преобразовался в более простой интеграл относительно новой переменной \(u\).

Вычисление интеграла:

• Используем правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(n \neq -1\).

• В нашем случае:

  \(-\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{3}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C\)

Возврат к исходной переменной:

• Заменим \(u\) обратно на \(7 + 2\cos x\):

  \(-\frac{3}{4} u^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{3}{4} (7 + 2\cos x)^{\frac{2}{3}} + C\)