Решение тригонометрических выражений: подробный разбор

Задание 1

Вычислить значение следующего выражения:

\(y = 2\sin^2(3\pi - 2x)\cos^2(5\pi + 2x)\)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Формулы приведения:

   • \(\sin(n\pi - \alpha) = (-1)^{n+1}\sin(\alpha)\)
   • \(\cos(n\pi + \alpha) = (-1)^n\cos(\alpha)\)

   Применим эти формулы к нашему выражению:
   * \(\sin(3\pi - 2x) = \sin(\pi - 2x) = \sin(2x)\)
   * \(\cos(5\pi + 2x) = \cos(\pi + 2x) = -\cos(2x)\)

2. Подстановка в исходное выражение:
   \(y = 2(\sin(2x))^2(-\cos(2x))^2\)
   \(y = 2\sin^2(2x)\cos^2(2x)\)

3. Использование формулы двойного угла для синуса:

   • \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)
   • Отсюда: \(\sin^2(2\alpha) = (2\sin(\alpha)\cos(\alpha))^2 = 4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)\)

   Перепишем наше выражение, используя эту формулу:
   \(y = 2 \cdot \frac{1}{4} (2\sin(2x)\cos(2x))^2\)
   \(y = \frac{1}{2} (\sin(4x))^2\)
   \(y = \frac{1}{2}\sin^2(4x)\)

Ответ: \(y = \frac{1}{2}\sin^2(4x)\)

Задание 2

Вычислить значение следующего выражения:

\(y = 2\sqrt{2}\cos x \cdot \sin(\frac{\pi}{4} + 2x)\)

Решение:

Воспользуемся формулой синуса суммы углов:

1. Формула синуса суммы:

   • \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\)

   Применим эту формулу к части выражения \(\sin(\frac{\pi}{4} + 2x)\):
   \(\sin(\frac{\pi}{4} + 2x) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(2x)\)

2. Значения синуса и косинуса для \(\frac{\pi}{4}\):

   • \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
   • \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

   Подставим эти значения:
   \(\sin(\frac{\pi}{4} + 2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(2x) + \sin(2x))\)

3. Подстановка в исходное выражение:
   \(y = 2\sqrt{2}\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(2x) + \sin(2x))\)
   \(y = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x (\cos(2x) + \sin(2x))\)
   \(y = 2 \cos x (\cos(2x) + \sin(2x))\)

4. Использование формулы косинуса двойного угла:

   • \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)
   • \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\)
   • \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x\)

   Также воспользуемся формулой синуса двойного угла:
   * \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\)

   Подставим эти формулы в выражение для \(y\):
   \(y = 2 \cos x ((2\cos^2 x - 1) + (2\sin x \cos x))\)
   \(y = 2 \cos x (2\cos^2 x - 1 + 2\sin x \cos x)\)
   \(y = 4\cos^3 x - 2\cos x + 4\sin x \cos^2 x\)

   Это выражение можно упростить, но без конкретного значения \(x\) или дополнительных условий, дальнейшее упрощение может быть нецелесообразным. Если требуется численное значение, необходимо знать значение \(x\). Если требуется упрощенная формула, то \(y = 2 \cos x (\cos(2x) + \sin(2x))\) является одним из вариантов.

Ответ: \(y = 2 \cos x (\cos(2x) + \sin(2x))\) или \(y = 4\cos^3 x - 2\cos x + 4\sin x \cos^2 x\)

Задание 3

Вычислить значение следующего выражения:

\(y = \cos^2(\frac{3}{8}\pi - \frac{x}{4}) - \cos^2(\frac{11}{8}\pi + \frac{x}{4})\)

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Формула разности квадратов косинусов:

   • \(\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A-B)\sin(A+B)\)

   Применим эту формулу, где \(A = \frac{3}{8}\pi - \frac{x}{4}\) и \(B = \frac{11}{8}\pi + \frac{x}{4}\).

2. Вычисление \(A-B\):
   \(A - B = (\frac{3}{8}\pi - \frac{x}{4}) - (\frac{11}{8}\pi + \frac{x}{4})\)
   \(A - B = \frac{3}{8}\pi - \frac{x}{4} - \frac{11}{8}\pi - \frac{x}{4}\)
   \(A - B = (\frac{3}{8}\pi - \frac{11}{8}\pi) - (\frac{x}{4} + \frac{x}{4})\)
   \(A - B = -\frac{8}{8}\pi - \frac{2x}{4}\)
   \(A - B = -\pi - \frac{x}{2}\)

3. Вычисление \(A+B\):
   \(A + B = (\frac{3}{8}\pi - \frac{x}{4}) + (\frac{11}{8}\pi + \frac{x}{4})\)
   \(A + B = \frac{3}{8}\pi - \frac{x}{4} + \frac{11}{8}\pi + \frac{x}{4}\)
   \(A + B = (\frac{3}{8}\pi + \frac{11}{8}\pi) + (-\frac{x}{4} + \frac{x}{4})\)
   \(A + B = \frac{14}{8}\pi + 0\)
   \(A + B = \frac{7}{4}\pi\)

4. Подстановка в формулу:
   \(y = -\sin(-\pi - \frac{x}{2})\sin(\frac{7}{4}\pi)\)

5. Использование свойств синуса:

   • \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\)
   • \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)\)

   Применим эти свойства:
   * \(\sin(-\pi - \frac{x}{2}) = \sin(-(\pi + \frac{x}{2})) = -\sin(\pi + \frac{x}{2}) = -(-\sin(\frac{x}{2})) = \sin(\frac{x}{2})\)

   Теперь вычислим \(\sin(\frac{7}{4}\pi)\):
   \(\sin(\frac{7}{4}\pi) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

6. Окончательная подстановка:
   \(y = -(\sin(\frac{x}{2}))(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
   \(y = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\frac{x}{2})\)

Ответ: \(y = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\frac{x}{2})\)