Решение задачи на площадь треугольника, вписанного в окружность

Задание 1

Условие: Вершины треугольника \(ABC\) принадлежат окружности, радиус которой равен \(12,5\) см, \(AB = 20\) см, \(\angle B + \angle C = 90^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABC\) (в см\(^2\)).

Решение:

1. Анализ условия:

   • Треугольник \(ABC\) вписан в окружность.
   • Радиус окружности \(R = 12,5\) см.
   • Сторона \(AB = 20\) см.
   • Сумма углов \(\angle B + \angle C = 90^\circ\).

2. Свойство вписанного треугольника:
   Если сумма двух углов треугольника равна \(90^\circ\), то третий угол равен \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Следовательно, \(\angle A = 90^\circ\).
   Это означает, что треугольник \(ABC\) — прямоугольный.

3. Связь между стороной и радиусом описанной окружности:
   В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.
   Диаметр \(d = 2R = 2 \times 12,5\) см \(= 25\) см.
   Гипотенуза прямоугольного треугольника \(ABC\) — это сторона, противолежащая прямому углу \(\angle A\). Следовательно, гипотенуза равна \(BC\).
   Таким образом, \(BC = 25\) см.

4. Проверка условия:
   В условии задачи дана сторона \(AB = 20\) см. Если \(AB\) — катет, а \(BC\) — гипотенуза, то \(AB\) должна быть меньше \(BC\). \(20 < 25\), что соответствует условию.

5. Нахождение второго катета:
   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\):
   \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
   \(20^2 + AC^2 = 25^2\)
   \(400 + AC^2 = 625\)
   \(AC^2 = 625 - 400\)
   \(AC^2 = 225\)
   \(AC = \sqrt{225} = 15\) см.

6. Вычисление площади прямоугольного треугольника:
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
   \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC\)
   \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 20 \text{ см} \times 15 \text{ см}\)
   \(S_{ABC} = 10 \text{ см} \times 15 \text{ см}\)
   \(S_{ABC} = 150 \text{ см}^2\).

Ответ: Площадь треугольника \(ABC\) равна \(150\) см\(^2\).

К сожалению, на предоставленном изображении больше нет заданий для решения. Есть только одно задание, которое я уже подробно разобрал.

Если у вас есть другие задания, пожалуйста, предоставьте их.