Здравствуйте! Давайте решим задачи по геометрии.

Задание 1

В первом задании у нас есть два случая: прямоугольный параллелепипед и наклонный параллелепипед.

Случай 1: Прямоугольный параллелепипед

1. Угол между $B_1D$ и $(ABC)$:

   • Проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $(ABC)$ является отрезок $BD$.
   • Угол между $B_1D$ и $(ABC)$ - это угол $B_1DB$.
   • Так как $BB_1$ перпендикулярна $(ABC)$, то $\triangle BB_1D$ - прямоугольный.
   • $\angle B_1DB = \arctan{\frac{BB_1}{BD}}$. Если $ABCD$ - квадрат, то $\angle B_1DB = 45^\circ$.

2. Угол между $B_1D$ и $(DD_1C_1)$:

   • Проведем $B_1C$. Заметим, что $B_1C \parallel D_1D$.
   • Угол между $B_1D$ и $(DD_1C_1)$ равен углу между $B_1D$ и $B_1C$, то есть $\angle DB_1C$.
   • Если параллелепипед - куб, то $\angle DB_1C = 90^\circ$.

Случай 2: Наклонный параллелепипед

1. Угол между $B_1D$ и $(ABC)$:

   • Здесь нужно учитывать наклон. Проекция $B_1D$ на $(ABC)$ уже не будет просто $BD$.
   • Нужно опустить перпендикуляр из $B_1$ на $(ABC)$, обозначим его $B_1H$. Тогда проекция $B_1D$ будет $HD$.
   • Угол между $B_1D$ и $(ABC)$ - это угол $B_1DH$.

2. Угол между $B_1D$ и $(DD_1C_1)$:

   • Аналогично, из-за наклона, угол между $B_1D$ и $(DD_1C_1)$ будет сложнее определить.
   • Нужно найти проекцию $B_1D$ на $(DD_1C_1)$ и рассмотреть угол между отрезком и его проекцией.

Задание 2

Дано: $BB_1 \perp (ABC)$. Нужно найти угол между $BC_1$ и $(AA_1B_1)$.

1. Определение угла:

   • Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
   • Проекция $C_1$ на плоскость $(AA_1B_1)$ - это точка $B_1$, так как $BB_1 \perp (ABC)$ и $AA_1 \parallel BB_1$.
   • Проекция точки $B$ на плоскость $(AA_1B_1)$ - это точка $B$.
   • Следовательно, проекция отрезка $BC_1$ на плоскость $(AA_1B_1)$ - это отрезок $BB_1$.
   • Искомый угол - это угол между $BC_1$ и $BB_1$, то есть $\angle C_1BB_1$.

2. Нахождение угла:

   • $\triangle C_1BB_1$ - прямоугольный, так как $BB_1 \perp (ABC)$, а значит, $BB_1 \perp BC$.
   • $\angle C_1BB_1 = \arctan{\frac{B_1C_1}{BB_1}}$.
   • Если $BB_1 = BC$, то $\angle C_1BB_1 = 45^\circ$.

Ответ:

• Задание 1: В случае прямоугольного параллелепипеда углы можно выразить через $\arctan{\frac{BB_1}{BD}}$ и $\angle DB_1C = 90^\circ$ (если это куб). В случае наклонного параллелепипеда нужно учитывать проекции с учетом наклона.
• Задание 2: $\angle C_1BB_1 = \arctan{\frac{B_1C_1}{BB_1}}$. Если $BB_1 = BC$, то $\angle C_1BB_1 = 45^\circ$.