Задача: Определение токов в электрической цепи

Дано:
- $\dot{E}_1 = 60e^{j0^\circ}$ В
- $\dot{E}_2 = 10e^{-j30^\circ}$ В
- $\Gamma = X_L = X_C = 10$ Ом

Решение:

Для определения токов $\dot{I}_1$, $\dot{I}_2$ и $\dot{I}_3$ в заданной схеме необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Но сначала преобразуем источники ЭДС в комплексной форме:

$\dot{E}_1 = 60e^{j0^\circ} = 60$ В
$\dot{E}_2 = 10e^{-j30^\circ} = 10 \cdot (\cos(-30^\circ) + j\sin(-30^\circ)) = 10 \cdot (0.866 - j0.5) = 8.66 - j5$ В

Реактивные сопротивления:
- Индуктивное сопротивление: $X_L = j\omega L = j10$ Ом
- Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{j\omega C} = -j10$ Ом
- Сопротивление резистора: $\Gamma = 10$ Ом

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

1. По первому закону Кирхгофа (для узла):
   $\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3$

2. По второму закону Кирхгофа (для контуров):
   - Для контура с $\dot{E}_1$: $\dot{E}_1 = \dot{I}_1 \cdot \Gamma + \dot{I}_2 \cdot X_L$
   - Для контура с $\dot{E}_2$: $\dot{E}_2 = \dot{I}_3 \cdot X_C + \dot{I}_2 \cdot X_L$

Подставим известные значения:
- $60 = 10\dot{I}_1 + j10\dot{I}_2$
- $8.66 - j5 = -j10\dot{I}_3 + j10\dot{I}_2$

Из первого уравнения: $\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3$

Подставим в уравнение для контура с $\dot{E}_1$:
$60 = 10(\dot{I}_2 + \dot{I}_3) + j10\dot{I}_2 = 10\dot{I}_2 + 10\dot{I}_3 + j10\dot{I}_2 = (10 + j10)\dot{I}_2 + 10\dot{I}_3$

Преобразуем второе уравнение для контура с $\dot{E}_2$:
$8.66 - j5 = -j10\dot{I}_3 + j10\dot{I}_2$
$8.66 - j5 = j10(\dot{I}_2 - \dot{I}_3)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $\dot{I}_2$ и $\dot{I}_3$:
1. $(10 + j10)\dot{I}_2 + 10\dot{I}_3 = 60$
2. $j10\dot{I}_2 - j10\dot{I}_3 = 8.66 - j5$

Из второго уравнения:
$j10(\dot{I}_2 - \dot{I}_3) = 8.66 - j5$
$\dot{I}_2 - \dot{I}_3 = \frac{8.66 - j5}{j10} = \frac{8.66 - j5}{j10} \cdot \frac{-j}{-j} = \frac{-j(8.66 - j5)}{-j \cdot j10} = \frac{-j8.66 - 5}{10} = \frac{-5 - j8.66}{10} = -0.5 - j0.866$

Таким образом: $\dot{I}_2 = \dot{I}_3 - 0.5 - j0.866$

Подставим в первое уравнение:
$(10 + j10)(\dot{I}_3 - 0.5 - j0.866) + 10\dot{I}_3 = 60$

Раскроем скобки:
$(10 + j10)\dot{I}_3 - (10 + j10)(0.5 + j0.866) + 10\dot{I}_3 = 60$
$(10 + j10)\dot{I}_3 - (5 + j5 + j8.66 - 8.66) + 10\dot{I}_3 = 60$
$(10 + j10)\dot{I}_3 - (5 - 8.66 + j(5 + 8.66)) + 10\dot{I}_3 = 60$
$(10 + j10)\dot{I}_3 - (-3.66 + j13.66) + 10\dot{I}_3 = 60$
$(10 + j10 + 10)\dot{I}_3 + 3.66 - j13.66 = 60$
$(20 + j10)\dot{I}_3 = 60 - 3.66 + j13.66 = 56.34 + j13.66$

$\dot{I}_3 = \frac{56.34 + j13.66}{20 + j10} = \frac{56.34 + j13.66}{20 + j10} \cdot \frac{20 - j10}{20 - j10} = \frac{(56.34 + j13.66)(20 - j10)}{(20)^2 + (10)^2}$

$\dot{I}_3 = \frac{56.34 \cdot 20 - 56.34 \cdot j10 + j13.66 \cdot 20 + 13.66 \cdot 10}{500} = \frac{1126.8 - j563.4 + j273.2 + 136.6}{500}$

$\dot{I}_3 = \frac{1263.4 - j290.2}{500} = 2.527 - j0.58 = 2.59e^{-j12.94^\circ}$ А

Теперь найдем $\dot{I}_2$:
$\dot{I}_2 = \dot{I}_3 - 0.5 - j0.866 = 2.527 - j0.58 - 0.5 - j0.866 = 2.027 - j1.446 = 2.49e^{-j35.5^\circ}$ А

И наконец, $\dot{I}_1$:
$\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3 = 2.027 - j1.446 + 2.527 - j0.58 = 4.554 - j2.026 = 4.98e^{-j24^\circ}$ А

Ответ:

$\dot{I}_1 = 4.98e^{-j24^\circ}$ А
$\dot{I}_2 = 2.49e^{-j35.5^\circ}$ А
$\dot{I}_3 = 2.59e^{-j12.94^\circ}$ А