Расчет токов в электрической цепи с комплексными сопротивлениями

Задача: Определение токов в электрической цепи

Дано:
- \(\dot{E}_1 = 60e^{j0^\circ}\) В
- \(\dot{E}_2 = 10e^{-j30^\circ}\) В
- \(\Gamma = X_L = X_C = 10\) Ом

Решение:

Для определения токов \(\dot{I}_1\), \(\dot{I}_2\) и \(\dot{I}_3\) в заданной схеме необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Но сначала преобразуем источники ЭДС в комплексной форме:

\(\dot{E}_1 = 60e^{j0^\circ} = 60\) В
\(\dot{E}_2 = 10e^{-j30^\circ} = 10 \cdot (\cos(-30^\circ) + j\sin(-30^\circ)) = 10 \cdot (0.866 - j0.5) = 8.66 - j5\) В

Реактивные сопротивления:
- Индуктивное сопротивление: \(X_L = j\omega L = j10\) Ом
- Емкостное сопротивление: \(X_C = \frac{1}{j\omega C} = -j10\) Ом
- Сопротивление резистора: \(\Gamma = 10\) Ом

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

1. По первому закону Кирхгофа (для узла):
   \(\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3\)

2. По второму закону Кирхгофа (для контуров):
   - Для контура с \(\dot{E}_1\): \(\dot{E}_1 = \dot{I}_1 \cdot \Gamma + \dot{I}_2 \cdot X_L\)
   - Для контура с \(\dot{E}_2\): \(\dot{E}_2 = \dot{I}_3 \cdot X_C + \dot{I}_2 \cdot X_L\)

Подставим известные значения:
- \(60 = 10\dot{I}_1 + j10\dot{I}_2\)
- \(8.66 - j5 = -j10\dot{I}_3 + j10\dot{I}_2\)

Из первого уравнения: \(\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3\)

Подставим в уравнение для контура с \(\dot{E}_1\):
\(60 = 10(\dot{I}_2 + \dot{I}_3) + j10\dot{I}_2 = 10\dot{I}_2 + 10\dot{I}_3 + j10\dot{I}_2 = (10 + j10)\dot{I}_2 + 10\dot{I}_3\)

Преобразуем второе уравнение для контура с \(\dot{E}_2\):
\(8.66 - j5 = -j10\dot{I}_3 + j10\dot{I}_2\)
\(8.66 - j5 = j10(\dot{I}_2 - \dot{I}_3)\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(\dot{I}_2\) и \(\dot{I}_3\):
1. \((10 + j10)\dot{I}_2 + 10\dot{I}_3 = 60\)
2. \(j10\dot{I}_2 - j10\dot{I}_3 = 8.66 - j5\)

Из второго уравнения:
\(j10(\dot{I}_2 - \dot{I}_3) = 8.66 - j5\)
\(\dot{I}_2 - \dot{I}_3 = \frac{8.66 - j5}{j10} = \frac{8.66 - j5}{j10} \cdot \frac{-j}{-j} = \frac{-j(8.66 - j5)}{-j \cdot j10} = \frac{-j8.66 - 5}{10} = \frac{-5 - j8.66}{10} = -0.5 - j0.866\)

Таким образом: \(\dot{I}_2 = \dot{I}_3 - 0.5 - j0.866\)

Подставим в первое уравнение:
\((10 + j10)(\dot{I}_3 - 0.5 - j0.866) + 10\dot{I}_3 = 60\)

Раскроем скобки:
\((10 + j10)\dot{I}_3 - (10 + j10)(0.5 + j0.866) + 10\dot{I}_3 = 60\)
\((10 + j10)\dot{I}_3 - (5 + j5 + j8.66 - 8.66) + 10\dot{I}_3 = 60\)
\((10 + j10)\dot{I}_3 - (5 - 8.66 + j(5 + 8.66)) + 10\dot{I}_3 = 60\)
\((10 + j10)\dot{I}_3 - (-3.66 + j13.66) + 10\dot{I}_3 = 60\)
\((10 + j10 + 10)\dot{I}_3 + 3.66 - j13.66 = 60\)
\((20 + j10)\dot{I}_3 = 60 - 3.66 + j13.66 = 56.34 + j13.66\)

\(\dot{I}_3 = \frac{56.34 + j13.66}{20 + j10} = \frac{56.34 + j13.66}{20 + j10} \cdot \frac{20 - j10}{20 - j10} = \frac{(56.34 + j13.66)(20 - j10)}{(20)^2 + (10)^2}\)

\(\dot{I}_3 = \frac{56.34 \cdot 20 - 56.34 \cdot j10 + j13.66 \cdot 20 + 13.66 \cdot 10}{500} = \frac{1126.8 - j563.4 + j273.2 + 136.6}{500}\)

\(\dot{I}_3 = \frac{1263.4 - j290.2}{500} = 2.527 - j0.58 = 2.59e^{-j12.94^\circ}\) А

Теперь найдем \(\dot{I}_2\):
\(\dot{I}_2 = \dot{I}_3 - 0.5 - j0.866 = 2.527 - j0.58 - 0.5 - j0.866 = 2.027 - j1.446 = 2.49e^{-j35.5^\circ}\) А

И наконец, \(\dot{I}_1\):
\(\dot{I}_1 = \dot{I}_2 + \dot{I}_3 = 2.027 - j1.446 + 2.527 - j0.58 = 4.554 - j2.026 = 4.98e^{-j24^\circ}\) А

Ответ:

\(\dot{I}_1 = 4.98e^{-j24^\circ}\) А
\(\dot{I}_2 = 2.49e^{-j35.5^\circ}\) А
\(\dot{I}_3 = 2.59e^{-j12.94^\circ}\) А