Вычисление определителей матриц 2x2 и 3x3: примеры и решения
Привет! Сейчас помогу с решением этих задач.
Задание 1.9
Вычислить определители второго порядка. Определитель матрицы 2x2 вычисляется по формуле:
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
a) \(\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (5 \cdot 3) - (2 \cdot 4) = 15 - 8 = 7\)
б) \(\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ -2 & 6 \end{vmatrix} = (3 \cdot 6) - (7 \cdot (-2)) = 18 + 14 = 32\)
в) \(\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -9 & 9 \end{vmatrix} = (3 \cdot 9) - (-3 \cdot (-9)) = 27 - 27 = 0\)
г) \(\begin{vmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix} = (\cos \alpha \cdot \cos \alpha) - (-\sin \alpha \cdot \sin \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)
Ответы:
* a) 7
* б) 32
* в) 0
* г) 1
Задание 1.10
Вычислить определители с помощью правила треугольников. Правило треугольников используется для вычисления определителей 3x3.
\(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh\)
a) \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 8 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 8 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (2 \cdot 2 \cdot 3) - (2 \cdot 8 \cdot (-1)) - (1 \cdot 2 \cdot 2) - (1 \cdot 1 \cdot 3) = 16 - 1 + 12 + 16 - 4 - 3 = 36\)
б) \(\begin{vmatrix} 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-2) \cdot 3) + (-4 \cdot 6 \cdot (-1)) + (5 \cdot 1 \cdot 1) - (5 \cdot (-2) \cdot (-1)) - (-4 \cdot 1 \cdot 3) - (2 \cdot 6 \cdot 1) = -12 + 24 + 5 - 10 + 12 - 12 = 7\)
Ответы:
* a) 36
* б) 7
Задание 1.11
Вычислить определители приведением к треугольному виду. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали.
a) \(\begin{vmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 5 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\)
Поменяем местами первую и вторую строки:
\(\begin{vmatrix} 5 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\)
При перестановке строк знак определителя меняется, поэтому:
\(-(5 \cdot 3 \cdot 3) = -45\)
Ответы:
* a) -45
