Решение матричного уравнения AX=B онлайн

Задание 1: Решение матричного уравнения

Нам дано матричное уравнение вида \(AX = B\), где:

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}\)

\(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}\)

Для решения этого уравнения необходимо найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и затем умножить ее на матрицу \(B\): \(X = A^{-1}B\).

Шаг 1: Вычисление определителя матрицы \(A\)

Определитель матрицы \(A\) (обозначается как \(\det(A)\) или \(|A|\)) вычисляется по формуле:

\(\det(A) = 2 \cdot (4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1)) + 2 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot (-1))\)
\(\det(A) = 2 \cdot (-8 - 3) - 1 \cdot (-2 + 3) + 2 \cdot (1 + 4)\)
\(\det(A) = 2 \cdot (-11) - 1 \cdot (1) + 2 \cdot (5)\)
\(\det(A) = -22 - 1 + 10\)
\(\det(A) = -13\)

Так как \(\det(A) \neq 0\), обратная матрица \(A^{-1}\) существует.

Шаг 2: Вычисление матрицы алгебраических дополнений \(C\)

Матрица алгебраических дополнений \(C\) состоит из элементов \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\), где \(M_{ij}\) — минор элемента \(a_{ij}\).

\(C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) = -8 - 3 = -11\)
\(C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-1)) = -1 \cdot (-2 + 3) = -1\)
\(C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot (-1)) = 1 + 4 = 5\)

\(C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot (-2) - 2 \cdot 1) = -1 \cdot (-2 - 2) = 4\)
\(C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-1)) = -4 + 2 = -2\)
\(C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = -1 \cdot (2 + 1) = -3\)

\(C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) = 3 - 8 = -5\)
\(C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1) = -1 \cdot (6 - 2) = -4\)
\(C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = 8 - 1 = 7\)

Таким образом, матрица алгебраических дополнений \(C\):

\(C = \begin{pmatrix} -11 & -1 & 5 \\ 4 & -2 & -3 \\ -5 & -4 & 7 \end{pmatrix}\)

Шаг 3: Вычисление транспонированной матрицы алгебраических дополнений \(C^T\) (присоединенной матрицы \(adj(A)\))

\(C^T = \begin{pmatrix} -11 & 4 & -5 \\ -1 & -2 & -4 \\ 5 & -3 & 7 \end{pmatrix}\)

Шаг 4: Вычисление обратной матрицы \(A^{-1}\)

\(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} -11 & 4 & -5 \\ -1 & -2 & -4 \\ 5 & -3 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{11}{13} & -\frac{4}{13} & \frac{5}{13} \\ \frac{1}{13} & \frac{2}{13} & \frac{4}{13} \\ -\frac{5}{13} & \frac{3}{13} & -\frac{7}{13} \end{pmatrix}\)

Шаг 5: Умножение \(A^{-1}\) на \(B\) для нахождения \(X\)

\(X = A^{-1}B = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} -11 & 4 & -5 \\ -1 & -2 & -4 \\ 5 & -3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}\)

\(x_1 = \frac{1}{-13} ((-11) \cdot 3 + 4 \cdot 7 + (-5) \cdot (-7)) = \frac{1}{-13} (-33 + 28 + 35) = \frac{1}{-13} (30) = -\frac{30}{13}\)
\(x_2 = \frac{1}{-13} ((-1) \cdot 3 + (-2) \cdot 7 + (-4) \cdot (-7)) = \frac{1}{-13} (-3 - 14 + 28) = \frac{1}{-13} (11) = -\frac{11}{13}\)
\(x_3 = \frac{1}{-13} (5 \cdot 3 + (-3) \cdot 7 + 7 \cdot (-7)) = \frac{1}{-13} (15 - 21 - 49) = \frac{1}{-13} (-55) = \frac{55}{13}\)

Таким образом, решение системы:

\(X = \begin{pmatrix} -\frac{30}{13} \\ -\frac{11}{13} \\ \frac{55}{13} \end{pmatrix}\)

Проверка (необязательно, но рекомендуется)

Подставим найденные значения \(X\) в исходное уравнение \(AX=B\):

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{30}{13} \\ -\frac{11}{13} \\ \frac{55}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-\frac{30}{13}) + 1(-\frac{11}{13}) + 2(\frac{55}{13}) \\ 1(-\frac{30}{13}) + 4(-\frac{11}{13}) + 3(\frac{55}{13}) \\ -1(-\frac{30}{13}) + 1(-\frac{11}{13}) - 2(\frac{55}{13}) \end{pmatrix}\)

\(= \begin{pmatrix} \frac{-60 - 11 + 110}{13} \\ \frac{-30 - 44 + 165}{13} \\ \frac{30 - 11 - 110}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{39}{13} \\ \frac{91}{13} \\ \frac{-91}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -7 \end{pmatrix}\)

Результат совпадает с матрицей \(B\), что подтверждает правильность решения. ✅