Решение задач с квадратными уравнениями и радикалами

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями. Начнем с первых трех.

Задание 1

Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения \(\sqrt{2x^2 + 9x + 5} - x = 3\).

1. Перенесем \(x\) в правую часть уравнения:
   \(\sqrt{2x^2 + 9x + 5} = x + 3\)

2. Возведем обе части в квадрат:
   \(2x^2 + 9x + 5 = (x + 3)^2\)
   \(2x^2 + 9x + 5 = x^2 + 6x + 9\)

3. Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:
   \(x^2 + 3x - 4 = 0\)

4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:
   \(x_1 + x_2 = -3\)
   \(x_1 \cdot x_2 = -4\)
   Отсюда \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -4\).

5. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

   • Для \(x = 1\):
     \(\sqrt{2(1)^2 + 9(1) + 5} - 1 = \sqrt{16} - 1 = 4 - 1 = 3\). Верно.
   • Для \(x = -4\):
     \(\sqrt{2(-4)^2 + 9(-4) + 5} - (-4) = \sqrt{32 - 36 + 5} + 4 = \sqrt{1} + 4 = 1 + 4 = 5 \neq 3\). Неверно.

6. Таким образом, единственный корень \(x = 1\).

7. Определим, какому промежутку принадлежит корень \(x = 1\). Он принадлежит промежутку \((-\infty; 1]\).

Ответ: 1) \((-\infty; 1]\)

Задание 2

Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения \(\sqrt{2x^2 - x - 5} + x = 1\).

1. Перенесем \(x\) в правую часть уравнения:
   \(\sqrt{2x^2 - x - 5} = 1 - x\)

2. Возведем обе части в квадрат:
   \(2x^2 - x - 5 = (1 - x)^2\)
   \(2x^2 - x - 5 = 1 - 2x + x^2\)

3. Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:
   \(x^2 + x - 6 = 0\)

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
   \(x_1 + x_2 = -1\)
   \(x_1 \cdot x_2 = -6\)
   Отсюда \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -3\).

5. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

   • Для \(x = 2\):
     \(\sqrt{2(2)^2 - 2 - 5} + 2 = \sqrt{8 - 2 - 5} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 1\). Неверно.
   • Для \(x = -3\):
     \(\sqrt{2(-3)^2 - (-3) - 5} + (-3) = \sqrt{18 + 3 - 5} - 3 = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 = 1\). Верно.

6. Таким образом, единственный корень \(x = -3\).

7. Определим, какому промежутку принадлежит корень \(x = -3\). Он принадлежит промежутку \([-3; -2]\).

Ответ: 2) \([-3; -2]\)

Задание 3

Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения \(\sqrt{2x^2 - 14x + 21} + 4 = x\).

1. Перенесем 4 в правую часть уравнения:
   \(\sqrt{2x^2 - 14x + 21} = x - 4\)

2. Возведем обе части в квадрат:
   \(2x^2 - 14x + 21 = (x - 4)^2\)
   \(2x^2 - 14x + 21 = x^2 - 8x + 16\)

3. Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:
   \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
   \(x_1 + x_2 = 6\)
   \(x_1 \cdot x_2 = 5\)
   Отсюда \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 5\).

5. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

   • Для \(x = 1\):
     \(\sqrt{2(1)^2 - 14(1) + 21} + 4 = \sqrt{2 - 14 + 21} + 4 = \sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7 \neq 1\). Неверно.
   • Для \(x = 5\):
     \(\sqrt{2(5)^2 - 14(5) + 21} + 4 = \sqrt{50 - 70 + 21} + 4 = \sqrt{1} + 4 = 1 + 4 = 5\). Верно.

6. Таким образом, единственный корень \(x = 5\).

7. Определим, какому промежутку принадлежит корень \(x = 5\). Он принадлежит промежутку \((3; 9)\).

Ответ: 4) \((3; 9)\)