Решение задачи по электротехнике с использованием законов Кирхгофа

Определим направления токов. На схеме направления токов \(I_1, I_2, I_3\) уже указаны.

Применим первый закон Кирхгофа для узла. Выберем верхний узел схемы. Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла:

\(I_1 = I_3 + I_2\) (1)

Применим второй закон Кирхгофа для контуров. Нам нужно два независимых контура.

• Контур 1: Левый контур, содержащий \(E_1, R_1, R_3\). Обходим контур по часовой стрелке.

  \(E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3\)
  \(75 = 100 I_1 + 150 I_3\) (2)

• Контур 2: Правый контур, содержащий \(E_2, R_2, R_3\). Обходим контур против часовой стрелки.

  \(E_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3\)
  \(100 = 150 I_2 + 150 I_3\) (3)

Решим систему уравнений. У нас есть три уравнения:

• \(I_1 = I_3 + I_2\) (1)
• \(75 = 100 I_1 + 150 I_3\) (2)
• \(100 = 150 I_2 + 150 I_3\) (3)

Выразим \(I_1\) из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

\(75 = 100 (I_3 + I_2) + 150 I_3\)
\(75 = 100 I_3 + 100 I_2 + 150 I_3\)
\(75 = 250 I_3 + 100 I_2\) (4)

Теперь у нас есть два уравнения с \(I_2\) и \(I_3\):

• \(100 = 150 I_2 + 150 I_3\) (3)
• \(75 = 100 I_2 + 250 I_3\) (4)

Умножим уравнение (3) на 2 и уравнение (4) на 3/2:

• \(200 = 300 I_2 + 300 I_3\)
• \(112.5 = 150 I_2 + 375 I_3\)

Выразим \(I_2\) из уравнения (3):
\(I_2 = \frac{100 - 150 I_3}{150} = \frac{2}{3} - I_3\)

Подставим это в уравнение (4):
\(75 = 100 (\frac{2}{3} - I_3) + 250 I_3\)
\(75 = \frac{200}{3} - 100 I_3 + 250 I_3\)
\(75 - \frac{200}{3} = 150 I_3\)
\(\frac{225 - 200}{3} = 150 I_3\)
\(\frac{25}{3} = 150 I_3\)
\(I_3 = \frac{25}{3 \cdot 150} = \frac{25}{450} = \frac{1}{18} \approx 0.0556 \, \text{A}\)

Теперь найдем \(I_2\):
\(I_2 = \frac{2}{3} - I_3 = \frac{2}{3} - \frac{1}{18} = \frac{12 - 1}{18} = \frac{11}{18} \approx 0.611 \, \text{A}\)

И, наконец, найдем \(I_1\):
\(I_1 = I_3 + I_2 = \frac{1}{18} + \frac{11}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \approx 0.667 \, \text{A}\)

Определим направления токов. На схеме направления токов \(I_1, I_2, I_3\) уже указаны.

Применим первый закон Кирхгофа для узла. Выберем верхний узел схемы. Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла:

\(I_1 = I_3 + I_2\) (1)

Применим второй закон Кирхгофа для контуров. Нам нужно два независимых контура.

• Контур 1: Левый контур, содержащий \(E_1, R_1, R_3\). Обходим контур по часовой стрелке.

  \(E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3\)
  \(75 = 100 I_1 + 150 I_3\) (2)

• Контур 2: Правый контур, содержащий \(E_2, R_2, -R_3\). Обходим контур по часовой стрелке. Важно заметить, что ток \(I_3\) направлен против обхода контура, поэтому в уравнении будет знак минус.

  \(E_2 = I_2 R_2 - I_3 R_3\)
  \(100 = 150 I_2 - 150 I_3\) (3)

Решим систему уравнений. У нас есть три уравнения:

• \(I_1 = I_3 + I_2\) (1)
• \(75 = 100 I_1 + 150 I_3\) (2)
• \(100 = 150 I_2 - 150 I_3\) (3)

Выразим \(I_1\) из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

\(75 = 100 (I_3 + I_2) + 150 I_3\)
\(75 = 100 I_3 + 100 I_2 + 150 I_3\)
\(75 = 250 I_3 + 100 I_2\) (4)

Теперь у нас есть два уравнения с \(I_2\) и \(I_3\):

• \(100 = 150 I_2 - 150 I_3\) (3)
• \(75 = 100 I_2 + 250 I_3\) (4)

Умножим уравнение (3) на 2 и уравнение (4) на 3/2:

• \(200 = 300 I_2 - 300 I_3\)
• \(112.5 = 150 I_2 + 375 I_3\)

Выразим \(I_2\) из уравнения (3):
\(150I_2 = 100 + 150I_3\)
\(I_2 = \frac{100 + 150I_3}{150} = \frac{2}{3} + I_3\)

Подставим это в уравнение (4):
\(75 = 100 (\frac{2}{3} + I_3) + 250 I_3\)
\(75 = \frac{200}{3} + 100 I_3 + 250 I_3\)
\(75 - \frac{200}{3} = 350 I_3\)
\(\frac{225 - 200}{3} = 350 I_3\)
\(\frac{25}{3} = 350 I_3\)
\(I_3 = \frac{25}{3 \cdot 350} = \frac{25}{1050} = \frac{1}{42} \approx 0.0238 \, \text{A}\)

Теперь найдем \(I_2\):
\(I_2 = \frac{2}{3} + I_3 = \frac{2}{3} + \frac{1}{42} = \frac{28 + 1}{42} = \frac{29}{42} \approx 0.690 \, \text{A}\)

И, наконец, найдем \(I_1\):
\(I_1 = I_3 + I_2 = \frac{1}{42} + \frac{29}{42} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7} \approx 0.714 \, \text{A}\)

Определим направления токов. На схеме направления токов \(I_1, I_2, I_3\) уже указаны.

Применим первый закон Кирхгофа для узла. Выберем верхний узел схемы. Согласно первому закону Кирхгофа, сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла:

\(I_1 = I_2 + I_3\) (1)

Применим второй закон Кирхгофа для контуров. Нам нужно два независимых контура.

• Контур 1: Левый контур, содержащий \(E_1, R_1, R_3\). Обходим контур по часовой стрелке.

  \(E_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3\)
  \(75 = 100 I_1 + 150 I_3\) (2)

• Контур 2: Правый контур, содержащий \(E_2, R_2, R_3\). Обходим контур по часовой стрелке. Важно заметить, что ток \(I_2\) течет против направления обхода контура.

  \(E_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3\)
  \(100 = -I_2 R_2 + I_3 R_3\)
  \(100 = -150 I_2 + 150 I_3\) (3)

Решим систему уравнений. У нас есть три уравнения:

• \(I_1 = I_2 + I_3\) (1)
• \(75 = 100 I_1 + 150 I_3\) (2)
• \(100 = -150 I_2 + 150 I_3\) (3)

Выразим \(I_1\) из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

\(75 = 100 (I_2 + I_3) + 150 I_3\)
\(75 = 100 I_2 + 100 I_3 + 150 I_3\)
\(75 = 100 I_2 + 250 I_3\) (4)

Теперь у нас есть два уравнения с \(I_2\) и \(I_3\):

• \(100 = -150 I_2 + 150 I_3\) (3)
• \(75 = 100 I_2 + 250 I_3\) (4)

Умножим уравнение (3) на 2 и уравнение (4) на 3/2:

• \(200 = -300 I_2 + 300 I_3\)
• \(112.5 = 150 I_2 + 375 I_3\)

Умножим второе уравнение на 2:
* \(200 = -300 I_2 + 300 I_3\)
* \(225 = 300 I_2 + 750 I_3\)

Сложим уравнения:
\(425 = 1050 I_3\)
\(I_3 = \frac{425}{1050} = \frac{17}{42} \approx 0.4048 \, \text{A}\)

Теперь найдем \(I_2\) из уравнения (3):
\(100 = -150 I_2 + 150 I_3\)
\(150 I_2 = 150 I_3 - 100\)
\(I_2 = I_3 - \frac{100}{150} = I_3 - \frac{2}{3} = \frac{17}{42} - \frac{2}{3} = \frac{17 - 28}{42} = -\frac{11}{42} \approx -0.2619 \, \text{A}\)

И, наконец, найдем \(I_1\):
\(I_1 = I_2 + I_3 = -\frac{11}{42} + \frac{17}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7} \approx 0.1429 \, \text{A}\)