Задачи на математическое ожидание, дисперсию и неравенство Чебышева

二、填空题

1. 设随机变量 X 的概率密度为 \(f(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)，则 E(X) = ______.

解：

根据期望的定义，对于连续型随机变量 X，其期望 E(X) 计算公式为：
\(E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx\)

将题目中给出的概率密度函数代入公式：
\(E(X) = \int_{0}^{1} x (3x^2) \, dx\)
\(E(X) = \int_{0}^{1} 3x^3 \, dx\)

对 \(3x^3\) 进行积分：
\(E(X) = \left[ \frac{3x^4}{4} \right]_{0}^{1}\)

代入积分上下限：
\(E(X) = \frac{3(1)^4}{4} - \frac{3(0)^4}{4}\)
\(E(X) = \frac{3}{4} - 0\)
\(E(X) = \frac{3}{4}\)

答案： \(\frac{3}{4}\)

2. 设 X ~ N(3,4)，则 E(2X+5) = __, D(2X+5) = ____. (两空各 2 分)

解：

题目中给出了随机变量 X 服从均值为 3，方差为 4 的正态分布，即 \(X \sim N(3,4)\)。
根据正态分布的性质，我们有 \(E(X) = 3\) 和 \(D(X) = 4\)。

计算 E(2X+5)：
根据期望的线性性质：\(E(aX + b) = aE(X) + b\)
\(E(2X+5) = 2E(X) + 5\)
\(E(2X+5) = 2(3) + 5\)
\(E(2X+5) = 6 + 5\)
\(E(2X+5) = 11\)

计算 D(2X+5)：
根据方差的性质：\(D(aX + b) = a^2 D(X)\)
\(D(2X+5) = 2^2 D(X)\)
\(D(2X+5) = 4 \times 4\)
\(D(2X+5) = 16\)

答案： 11, 16

3. 设连续型随机变量 X 的概率密度密度为 \(f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}\)，则 D(X) = ______.

解：

题目中给出的概率密度函数是指数分布的密度函数，其中参数 \(\lambda = 1\)。
对于指数分布 \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) (\(x \ge 0\))，其期望为 \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)，方差为 \(D(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)。

在这个题目中，\(\lambda = 1\)。
因此，期望 \(E(X) = \frac{1}{1} = 1\)。
方差 \(D(X) = \frac{1}{1^2} = 1\)。

或者，我们也可以通过计算来验证：

计算 E(X):
\(E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx\)
使用分部积分法，令 \(u = x\), \(dv = e^{-x} dx\)，则 \(du = dx\), \(v = -e^{-x}\)。
\(E(X) = \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-x}) \, dx\)
\(E(X) = (0 - 0) + \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx\)
\(E(X) = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{\infty}\)
\(E(X) = (0 - (-1))\)
\(E(X) = 1\)

计算 E(X^2):
\(E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x} \, dx\)
再次使用分部积分法，令 \(u = x^2\), \(dv = e^{-x} dx\)，则 \(du = 2x dx\), \(v = -e^{-x}\)。
\(E(X^2) = \left[ -x^2 e^{-x} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-x}) (2x) \, dx\)
\(E(X^2) = (0 - 0) + 2 \int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx\)
我们已经计算过 \(\int_{0}^{\infty} x e^{-x} \, dx = E(X) = 1\)。
所以，\(E(X^2) = 2 \times 1 = 2\)。

计算 D(X):
\(D(X) = E(X^2) - (E(X))^2\)
\(D(X) = 2 - (1)^2\)
\(D(X) = 2 - 1\)
\(D(X) = 1\)

答案： 1

4. 利用切比雪夫不等式，若 E(X) = 1, D(X) = 2. 则 P(|X - 1| < 2) ≥ ______.

解：

根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 X，只要其期望 \(E(X)\) 和方差 \(D(X)\) 存在，对于任意常数 \(a > 0\)，有：
\(P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{D(X)}{a^2}\)

我们可以将不等式改写为：
\(P(|X - E(X)| < a) \ge 1 - \frac{D(X)}{a^2}\)

题目中给出 \(E(X) = 1\)，\(D(X) = 2\)。
我们需要计算 \(P(|X - 1| < 2)\)。
将 \(E(X) = 1\) 代入不等式，我们得到 \(P(|X - 1| < a)\)。
题目中要求的是 \(P(|X - 1| < 2)\)，所以 \(a = 2\)。

将 \(a=2\)，\(D(X)=2\) 代入不等式：
\(P(|X - 1| < 2) \ge 1 - \frac{D(X)}{2^2}\)
\(P(|X - 1| < 2) \ge 1 - \frac{2}{4}\)
\(P(|X - 1| < 2) \ge 1 - \frac{1}{2}\)
\(P(|X - 1| < 2) \ge \frac{1}{2}\)

答案： \(\frac{1}{2}\)