Решение уравнений с дробями: подробный разбор и объяснение

Chào bạn, tôi sẽ giúp bạn giải các bài tập phương trình này.

Задание 1

Đề bài: \(4(2x + 7) = 15(3x - 7)\)

Giải:

1. Phân phối các hệ số vào trong ngoặc:
   \(8x + 28 = 45x - 105\)
2. Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hạng tử không chứa \(x\) về vế còn lại:
   \(28 + 105 = 45x - 8x\)
3. Tính tổng:
   \(133 = 37x\)
4. Tìm \(x\) bằng cách chia cả hai vế cho 37:
   \(x = \frac{133}{37}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{133}{37}\).

Задание 2

Đề bài: \(3(x - 7) + 5(x - 3) = 7(2x - 4)\)

Giải:

1. Phân phối các hệ số vào trong ngoặc:
   \(3x - 21 + 5x - 15 = 14x - 28\)
2. Kết hợp các hạng tử giống nhau ở vế trái:
   \((3x + 5x) + (-21 - 15) = 14x - 28\)
   \(8x - 36 = 14x - 28\)
3. Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hạng tử không chứa \(x\) về vế còn lại:
   \(-36 + 28 = 14x - 8x\)
   \(-8 = 6x\)
4. Tìm \(x\) bằng cách chia cả hai vế cho 6:
   \(x = \frac{-8}{6}\)
5. Rút gọn phân số:
   \(x = -\frac{4}{3}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -\frac{4}{3}\).

Задание 3

Đề bài: \(\frac{3x - 2}{4} = \frac{5x + 2}{3}\)

Giải:

1. Quy đồng mẫu số hai vế hoặc nhân chéo:
   \(3(3x - 2) = 4(5x + 2)\)
2. Phân phối các hệ số vào trong ngoặc:
   \(9x - 6 = 20x + 8\)
3. Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hạng tử không chứa \(x\) về vế còn lại:
   \(-6 - 8 = 20x - 9x\)
   \(-14 = 11x\)
4. Tìm \(x\) bằng cách chia cả hai vế cho 11:
   \(x = \frac{-14}{11}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{-14}{11}\).

Giải thích về Quy đồng mẫu số và Nhân chéo trong phương trình phân số

Khi giải các phương trình có chứa phân số, hai phương pháp phổ biến để loại bỏ mẫu số và đưa về phương trình đơn giản hơn là quy đồng mẫu số và nhân chéo.

1. Quy đồng mẫu số

Khái niệm: Quy đồng mẫu số là việc biến đổi các phân số trong phương trình sao cho chúng có cùng một mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất (MCNN) thường được sử dụng để việc tính toán trở nên đơn giản hơn.

Các bước thực hiện:

1. Tìm MCNN: Tìm bội chung nhỏ nhất của tất cả các mẫu số trong phương trình.
2. Mở rộng phân số: Đối với mỗi phân số, nhân cả tử số và mẫu số với một số thích hợp sao cho mẫu số trở thành MCNN đã tìm được.
   • Ví dụ: Nếu phân số là \(\frac{a}{b}\) và MCNN là \(M\), ta nhân cả tử và mẫu với \(\frac{M}{b}\).
3. Viết lại phương trình: Sau khi quy đồng, phương trình sẽ có dạng \(\frac{A}{M} = \frac{B}{M}\).
4. Loại bỏ mẫu số: Vì hai vế có cùng mẫu số, ta có thể bỏ qua mẫu số và giải phương trình mới: \(A = B\).

Ví dụ áp dụng: Giải phương trình \(\frac{3x - 2}{4} = \frac{5x + 2}{3}\)

• Mẫu số là 4 và 3. MCNN của 4 và 3 là 12.
• Quy đồng phân số thứ nhất: \(\frac{3x - 2}{4} = \frac{(3x - 2) \times 3}{4 \times 3} = \frac{9x - 6}{12}\)
• Quy đồng phân số thứ hai: \(\frac{5x + 2}{3} = \frac{(5x + 2) \times 4}{3 \times 4} = \frac{20x + 8}{12}\)
• Phương trình trở thành: \(\frac{9x - 6}{12} = \frac{20x + 8}{12}\)
• Bỏ mẫu số: \(9x - 6 = 20x + 8\)
• Đây là phương trình bậc nhất đã quen thuộc, ta tiếp tục giải như bình thường.

2. Nhân chéo

Khái niệm: Quy tắc nhân chéo (hay còn gọi là quy tắc "tréo") là một trường hợp đặc biệt của quy đồng mẫu số, thường áp dụng khi phương trình có dạng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (chỉ có hai phân số bằng nhau).

Cách thực hiện:

• Nhân tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai.
• Nhân tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.
• Cho hai tích này bằng nhau.

Phương trình \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) sẽ trở thành \(a \times d = b \times c\).

Lưu ý quan trọng: Trước khi áp dụng quy tắc này (hoặc quy đồng mẫu số), cần xác định điều kiện xác định của phương trình, tức là các giá trị của biến mà làm cho mẫu số bằng 0. Các giá trị này sẽ bị loại bỏ.

Ví dụ áp dụng: Giải phương trình \(\frac{3x - 2}{4} = \frac{5x + 2}{3}\)

• Điều kiện xác định: \(4 \neq 0\) và \(3 \neq 0\) (luôn đúng).
• Áp dụng quy tắc nhân chéo:
  \((3x - 2) \times 3 = 4 \times (5x + 2)\)
• Thực hiện phép nhân:
  \(9x - 6 = 20x + 8\)
• Đây là phương trình bậc nhất, ta tiếp tục giải như bình thường.

So sánh hai phương pháp:

• Quy đồng mẫu số: Phù hợp với các phương trình có nhiều hơn hai phân số hoặc các mẫu số phức tạp. Nó mang tính hệ thống và giúp hiểu rõ bản chất của việc biến đổi phương trình.
• Nhân chéo: Nhanh chóng và tiện lợi khi chỉ có hai phân số bằng nhau. Tuy nhiên, nó là một hệ quả của quy đồng mẫu số.

Cả hai phương pháp đều dẫn đến cùng một kết quả và giúp bạn giải quyết các phương trình phân số một cách hiệu quả.

Chắc chắn rồi, chúng ta cùng giải bài tập số 5 nhé!

Задание 5

Đề bài: \(\frac{x - 2}{4} : \frac{2x - 3}{3} = x - 18\)

Giải:

1. Chuyển phép chia thành phép nhân: Chia cho một phân số tương đương với nhân với phân số nghịch đảo của nó.
   \(\frac{x - 2}{4} \times \frac{3}{2x - 3} = x - 18\)
2. Nhân hai phân số ở vế trái:
   \(\frac{(x - 2) \times 3}{4 \times (2x - 3)} = x - 18\)
   \(\frac{3x - 6}{8x - 12} = x - 18\)
3. Tìm điều kiện xác định: Mẫu số của phân số ở vế trái phải khác 0.
   \(8x - 12 \neq 0\)
   \(8x \neq 12\)
   \(x \neq \frac{12}{8}\)
   \(x \neq \frac{3}{2}\)
   Ngoài ra, mẫu số của phân số ban đầu cũng phải khác 0, tức là \(2x - 3 \neq 0\), suy ra \(x \neq \frac{3}{2}\). Vậy điều kiện xác định là \(x \neq \frac{3}{2}\).
4. Chuyển vế để đưa về dạng phương trình đại số: Coi \(x - 18\) như là \(\frac{x - 18}{1}\). Sau đó, ta có thể nhân chéo hoặc quy đồng mẫu số. Ở đây, ta nhân chéo:
   \(3x - 6 = (x - 18)(8x - 12)\)
5. Phân phối và khai triển vế phải:
   \(3x - 6 = 8x^2 - 12x - 144x + 216\)
   \(3x - 6 = 8x^2 - 156x + 216\)
6. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
   \(0 = 8x^2 - 156x - 3x + 216 + 6\)
   \(0 = 8x^2 - 159x + 222\)
   Hoặc viết lại là: \(8x^2 - 159x + 222 = 0\)

7. Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a=8\), \(b=-159\), \(c=222\).
   Tính biệt thức \(\Delta = b^2 - 4ac\):
   \(\Delta = (-159)^2 - 4 \times 8 \times 222\)
   \(\Delta = 25281 - 7104\)
   \(\Delta = 18177\)
   Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
   \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{159 + \sqrt{18177}}{2 \times 8} = \frac{159 + \sqrt{18177}}{16}\)
   \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{159 - \sqrt{18177}}{16}\)

   Lưu ý: \(\sqrt{18177}\) không phải là số chính phương, nên nghiệm sẽ để ở dạng căn.

8. Kiểm tra điều kiện xác định: Cả hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) đều khác \(\frac{3}{2}\).

   • \(\frac{159 + \sqrt{18177}}{16} \approx \frac{159 + 134.8}{16} \approx \frac{293.8}{16} \approx 18.36 \neq 1.5\)
   • \(\frac{159 - \sqrt{18177}}{16} \approx \frac{159 - 134.8}{16} \approx \frac{24.2}{16} \approx 1.51 \neq 1.5\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{159 + \sqrt{18177}}{16}\) và \(x = \frac{159 - \sqrt{18177}}{16}\).

Bạn đang đề cập đến bước nào vậy? Tôi muốn đảm bảo mình hiểu đúng câu hỏi của bạn.

Bạn có thể vui lòng chỉ rõ số thứ tự của bài tập hoặc bước giải mà bạn đang thắc mắc được không? Ví dụ: "Trong bài tập 5, bước 1, tại sao lại là phép chia mà không phải phép trừ?"

Việc này sẽ giúp tôi giải thích chính xác hơn cho bạn. Cảm ơn bạn!

Rất xin lỗi bạn vì sự nhầm lẫn này! Có vẻ như tôi đã đọc sai đề bài hoặc hình ảnh bị mờ ở một số chỗ.

Để tôi xem lại đề bài số 5 một cách cẩn thận hơn.

Đề bài số 5 trong hình ảnh có vẻ như là:

\(\frac{x - 2}{4} : \frac{2x - 3}{3} = x - 18\)

Trong đó dấu ":" là dấu chia.

Tuy nhiên, nếu bạn nhìn thấy một dấu trừ (-) thay vì dấu chia (:), vui lòng cho tôi biết đề bài chính xác bạn đang thấy là gì, và tôi sẽ giải lại ngay lập tức.

Tôi xin lỗi vì sự bất tiện này và rất mong nhận được phản hồi để có thể hỗ trợ bạn tốt nhất.