Решение линейных уравнений с переменной

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с решением этих уравнений.

Задание 298 г)

Уравнение: \(0.893x - 6.54 = 0.894x - 3.78\)

1. Перенесем члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:
   \(0.893x - 0.894x = 6.54 - 3.78\)
2. Упростим выражение:
   \(-0.001x = 2.76\)
3. Разделим обе части на \(-0.001\):
   \(x = \frac{2.76}{-0.001} = -2760\)

Ответ: \(x = -2760\)

Задание 298 д)

Уравнение: \(\frac{1}{4}x - \frac{4}{5} = 3\frac{5}{12}x - 3\frac{3}{14}\)

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
   \(\frac{1}{4}x - \frac{4}{5} = \frac{41}{12}x - \frac{45}{14}\)
2. Перенесем члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:
   \(\frac{1}{4}x - \frac{41}{12}x = \frac{4}{5} - \frac{45}{14}\)
3. Приведем дроби к общему знаменателю и упростим:
   \(\frac{3}{12}x - \frac{41}{12}x = \frac{56}{70} - \frac{225}{70}\)
   \(-\frac{38}{12}x = -\frac{169}{70}\)
4. Упростим дроби:
   \(-\frac{19}{6}x = -\frac{169}{70}\)
5. Умножим обе части на \(-\frac{6}{19}\):
   \(x = -\frac{169}{70} \cdot -\frac{6}{19} = \frac{169 \cdot 6}{70 \cdot 19} = \frac{169 \cdot 3}{35 \cdot 19} = \frac{507}{665}\)

Ответ: \(x = \frac{507}{665}\)

Задание 298 е)

Уравнение: \(\frac{5}{12}y = 10 - \frac{5}{9} - 3y\)

1. Перенесем члены с \(y\) в одну сторону:
   \(\frac{5}{12}y + 3y = 10 - \frac{5}{9}\)
2. Приведем к общему знаменателю и упростим:
   \(\frac{5}{12}y + \frac{36}{12}y = \frac{90}{9} - \frac{5}{9}\)
   \(\frac{41}{12}y = \frac{85}{9}\)
3. Умножим обе части на \(\frac{12}{41}\):
   \(y = \frac{85}{9} \cdot \frac{12}{41} = \frac{85 \cdot 4}{3 \cdot 41} = \frac{340}{123}\)

Ответ: \(y = \frac{340}{123}\)

Homiwork на связи! Сейчас я расскажу про теоретические основы решения уравнений, которые мы использовали в предыдущих задачах.

Теоретические основы решения уравнений

При решении уравнений мы опираемся на несколько основных принципов и правил:

1. Основное свойство уравнений:

   • Если к обеим частям уравнения прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число или выражение, то уравнение останется верным.
   • Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (отличное от нуля), то уравнение останется верным.

2. Перенос членов уравнения:

   • Члены уравнения можно переносить из одной части в другую, меняя знак на противоположный. Это следует из основного свойства уравнений. Например, если у нас есть уравнение \(a + b = c\), то мы можем перенести \(b\) в правую часть, изменив знак: \(a = c - b\).

3. Приведение подобных членов:

   • Подобные члены — это члены, содержащие одинаковую переменную в одинаковой степени. Например, \(3x\) и \(5x\) — подобные члены. Мы можем складывать или вычитать подобные члены, чтобы упростить уравнение. Например, \(3x + 5x = 8x\).

4. Решение уравнений с дробями:

   • Чтобы избавиться от дробей в уравнении, можно умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.

5. Решение уравнений с пропорциями:

   • Пропорция — это равенство двух отношений: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Основное свойство пропорции: \(a \cdot d = b \cdot c\).

Формулы и правила

• Основное свойство уравнений:
  • \(a = b \Rightarrow a + c = b + c\)
  • \(a = b \Rightarrow a - c = b - c\)
  • \(a = b \Rightarrow a \cdot c = b \cdot c\)
  • \(a = b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{c}\), где \(c \neq 0\)
• Перенос членов уравнения:
  • \(a + b = c \Rightarrow a = c - b\)
  • \(a - b = c \Rightarrow a = c + b\)
• Приведение подобных членов:
  • \(ax + bx = (a + b)x\)
• Основное свойство пропорции:
  • \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c\)

Homiwork здесь! Давай решим номер 299.

Задание 299

Пусть первое число равно \(x\), а второе число равно \(y\). Из условия задачи мы можем составить два уравнения:

1. Первое число в 2,5 раза больше второго: \(x = 2.5y\)
2. Если к первому числу прибавить 1,5, а ко второму 8,4, то получатся одинаковые результаты: \(x + 1.5 = y + 8.4\)

Теперь решим систему уравнений:

1. Подставим первое уравнение во второе:
   \(2.5y + 1.5 = y + 8.4\)
2. Перенесем члены с \(y\) в одну сторону, а числа в другую:
   \(2.5y - y = 8.4 - 1.5\)
3. Упростим выражение:
   \(1.5y = 6.9\)
4. Разделим обе части на 1.5:
   \(y = \frac{6.9}{1.5} = \frac{69}{15} = \frac{23}{5} = 4.6\)
5. Теперь найдем \(x\):
   \(x = 2.5y = 2.5 \cdot 4.6 = 11.5\)

Ответ: Первое число равно 11.5, второе число равно 4.6.

Homiwork на связи! Конечно, давай решим задачу 299 другим способом.

Задание 299 (Альтернативное решение)

Пусть первое число равно \(x\), а второе число равно \(y\). У нас есть два уравнения:

1. \(x = 2.5y\)
2. \(x + 1.5 = y + 8.4\)

Вместо подстановки, выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:

\(y = \frac{x}{2.5} = \frac{2x}{5}\)

Теперь подставим это во второе уравнение:

\(x + 1.5 = \frac{2x}{5} + 8.4\)

1. Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:
   \(5(x + 1.5) = 5(\frac{2x}{5} + 8.4)\)
   \(5x + 7.5 = 2x + 42\)
2. Перенесем члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:
   \(5x - 2x = 42 - 7.5\)
3. Упростим выражение:
   \(3x = 34.5\)
4. Разделим обе части на 3:
   \(x = \frac{34.5}{3} = 11.5\)
5. Теперь найдем \(y\):
   \(y = \frac{x}{2.5} = \frac{11.5}{2.5} = \frac{115}{25} = \frac{23}{5} = 4.6\)

Ответ: Первое число равно 11.5, второе число равно 4.6.

Сравнение методов

• Первый метод (подстановка \(x\) через \(y\)):
  • Более интуитивный, так как в условии задачи явно указано, что первое число выражается через второе.
  • Может быть немного проще в вычислениях, если хорошо владеешь десятичными дробями.
• Второй метод (подстановка \(y\) через \(x\)):
  • Требует дополнительного шага для выражения \(y\) через \(x\).
  • Полезен, если нужно выразить обе переменные через одну и ту же переменную для дальнейших вычислений.

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Выбор метода зависит от личных предпочтений и удобства в конкретной ситуации.

Homiwork на связи! Сейчас решим задачу 301.

Задание 301 а)

Уравнение: \(8.5x - 2.15x = 3.05x - 9.5\)

1. Соберем члены с \(x\) в левой части уравнения:
   \(8.5x - 2.15x - 3.05x = -9.5\)
2. Упростим выражение:
   \((8.5 - 2.15 - 3.05)x = -9.5\)
   \(3.3x = -9.5\)
3. Разделим обе части на 3.3:
   \(x = \frac{-9.5}{3.3} = -\frac{95}{33}\)

Ответ: \(x = -\frac{95}{33}\)

Задание 301 б)

Уравнение: \(2\frac{1}{2}y - 1.27 = \frac{3}{4}y - 4.77\)

1. Преобразуем смешанную дробь в неправильную:
   \(\frac{5}{2}y - 1.27 = \frac{3}{4}y - 4.77\)
2. Перенесем члены с \(y\) в левую часть, а числа в правую:
   \(\frac{5}{2}y - \frac{3}{4}y = 1.27 - 4.77\)
3. Приведем дроби к общему знаменателю и упростим:
   \(\frac{10}{4}y - \frac{3}{4}y = -3.5\)
   \(\frac{7}{4}y = -3.5\)
4. Умножим обе части на \(\frac{4}{7}\):
   \(y = -3.5 \cdot \frac{4}{7} = -\frac{35}{10} \cdot \frac{4}{7} = -\frac{5}{1} \cdot \frac{2}{5} = -2\)

Ответ: \(y = -2\)