Решение рациональных уравнений. Задание 395

Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти уравнения по порядку.

Задание 395 (а)

Уравнение: \(\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6\)

1. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель для дробей \(\frac{4}{x}\) и \(\frac{7}{4x}\) равен \(4x\).
2. Преобразуем уравнение:
   \(\frac{4 \cdot 4}{4x} - \frac{7}{4x} = 6\)
   \(\frac{16}{4x} - \frac{7}{4x} = 6\)
3. Объединим дроби:
   \(\frac{16 - 7}{4x} = 6\)
   \(\frac{9}{4x} = 6\)
4. Избавимся от дроби: Умножим обе части уравнения на \(4x\):
   \(9 = 6 \cdot 4x\)
   \(9 = 24x\)
5. Решим относительно x:
   \(x = \frac{9}{24}\)
   \(x = \frac{3}{8}\)

Ответ: \(x = \frac{3}{8}\)

Задание 395 (б)

Уравнение: \(\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1\)

1. Перенесем все члены с переменной в одну сторону, а константы в другую:
   \(\frac{5}{2y} - \frac{3}{y} = 1 - \frac{1}{2}\)
2. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель для дробей \(\frac{5}{2y}\) и \(\frac{3}{y}\) равен \(2y\).
3. Преобразуем уравнение:
   \(\frac{5}{2y} - \frac{3 \cdot 2}{2y} = \frac{1}{2}\)
   \(\frac{5}{2y} - \frac{6}{2y} = \frac{1}{2}\)
4. Объединим дроби:
   \(\frac{5 - 6}{2y} = \frac{1}{2}\)
   \(\frac{-1}{2y} = \frac{1}{2}\)
5. Избавимся от дроби: Умножим обе части уравнения на \(2y\):
   \(-1 = \frac{1}{2} \cdot 2y\)
   \(-1 = y\)

Ответ: \(y = -1\)

Задание 395 (в)

Уравнение: \(\frac{z-2}{2} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3}\)

1. Перенесем все члены с переменной в одну сторону:
   \(\frac{z-2}{2} + \frac{z}{3} = \frac{4}{3z}\)
2. Приведем к общему знаменателю в левой части: Общий знаменатель для дробей \(\frac{z-2}{2}\) и \(\frac{z}{3}\) равен \(6\).
3. Преобразуем уравнение:
   \(\frac{3(z-2)}{6} + \frac{2z}{6} = \frac{4}{3z}\)
   \(\frac{3z - 6 + 2z}{6} = \frac{4}{3z}\)
   \(\frac{5z - 6}{6} = \frac{4}{3z}\)
4. Избавимся от дроби: Умножим обе части уравнения на \(6 \cdot 3z = 18z\):
   \((5z - 6) \cdot 3z = 4 \cdot 6\)
   \(15z^2 - 18z = 24\)
5. Преобразуем в квадратное уравнение:
   \(15z^2 - 18z - 24 = 0\)
6. Сократим на 3:
   \(5z^2 - 6z - 8 = 0\)
7. Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 5\), \(b = -6\), \(c = -8\).
   \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196\)
   \(z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 14}{10} = \frac{20}{10} = 2\)
   \(z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 14}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}\)

Ответ: \(z_1 = 2\), \(z_2 = -\frac{4}{5}\)